令I为有序集合，并令(Eι)ι∈I为由I索引的非空有序集族。
(a) 令F为(Eι)ι∈I族的*和* (章II, § 4, no. 8)；对于每个x∈F，令λ(x)为指标ι，使得x∈Eι；并令 G 为所有对 (x,y)∈F×F 的图由……组成，使得 λ(x)<λ(y) 或 λ(x)=λ(y) 和 x⩽y 位于 Eλ(x) 中。 证明 G 是 F 上的排序图。 具有这种排序的集合 F 称为(Eι)ι∈I族的*序数和*（相对于I的排序），并用∑ι∈IEι表示。 证明 F 的等价关系相应的到划分 (Eι)ι∈I 满足习题 2 的条件 (C) 和 (C′)，并且有序商集合 (习题 2) 规范同构于I。
(b) 如果集合I是有序集族(Jλ)λ∈L的序数和，其中L是有序集合，则表明有序集合∑ι∈IEι与序数规范同构和 ∑λ∈LFλ，其中Fλ=∑ι∈IλEι（序数和的“结合性”）。如果I是线性排序的集合{1,2}，我们将E1和E2的序数和写为E1+E2。证明 E2+E1 和 E1+E2 不一定同构。
(c) 序数和 ∑ι∈IEι 是右向当且仅当 I 是右向且 Eω 对于 I 的每个极大元素 ω 都是右向。
(d) 序数和 ∑ι∈IEι 是全序的，当且仅当 I 且每个 Eι 都是全序的。
(e) 序数和∑ι∈IEι是格当且仅当满足以下条件：
(I) 集合 I 是一个格子，对于 I 中不可比较的指标的每个对 (λ,μ)，Esup(λ,μ)（或Einf(λ,μ)）都有至少一个（或最大的） 元素。
(II) 对于Eα的元素的每个α∈I和每个对(x,y)，使得集合{x,y}在Eα中上界（或下界），集合{x,y}有至少Eα 中的上界（分别为下确界）。
(III) For each α∈I such that Eα contains a set of two elements which has no upper bound (resp. lower bound) in Eα, the set of indices λ∈I such that λ>α (resp. λ<α) has a least element (resp. greatest element) β, and Eβ has a least element (resp. greatest element).