Exercice 3, § 1

Soient I un ensemble ordonné, $(E_t)_{t \in I}$ une famille d’ensembles ordonnés non vides ayant I pour ensemble d’indices. a) Soit F l’ensemble somme (II, p. 30) de la famille $(E_t)_{t \in I}$ et, pour tout $x \in F$, soit $\lambda(x)$ l’indice t tel que $x \in E_t$; soit G le graphe formé des couples $(x, y) \in F \times F$ ayant la propriété suivante : $\lambda(x) < \lambda(y)$, ou $\lambda(x) = \lambda(y)$ et $x \leq y$ dans $E_{\lambda(x)}$. Montrer que G est le graphe d’un ordre sur F ; l’ensemble F, muni de cet ordre, est appelé la somme ordinaire de la famille $(E_t)_{t \in I}$ d’ensembles ordonnés (relativement à l’ordre sur I), et se note $\sum_{t \in I} E_t$. Montrer que la relation d’équivalence correspondant à la partition $(E_t)_{t \in I}$ de F vérifie les conditions (C) et (C’) de l’exerc. 2, et que l’ensemble ordonné quotient (exerc. 2) est canoniquement isomorphe à I. b) Si l’ensemble I est somme ordinaire d’une famille $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’ensembles ordonnés, où L est ordonné, montrer que l’ensemble ordonné $\sum_{t \in I} E_t$ est canoniquement isomorphe à la somme ordinaire $\sum_{\lambda \in L} F_\lambda$, où $F_\lambda = \sum_{t \in J_\lambda} E_t$ (« associativité » de la somme ordinaire). Lorsque I est l’ensemble totalement ordonné $\{1, 2\}$, on écrit aussi $E_1 + E_2$ la somme ordinaire de $E_1$ et $E_2$; montrer que $E_2 + E_1$ et $E_1 + E_2$ ne sont pas nécessairement isomorphes. c) Pour qu’une somme ordinaire $\sum_{t \in I} E_t$ soit un ensemble filtrant à droite, il faut et il suffit que I soit filtrant à droite et que, pour tout élément maximal $\omega$ de I, $E_\omega$ soit filtrant à droite. d) Pour qu’une somme ordinaire $\sum_{t \in I} E_t$ soit un ensemble totalement ordonné, il faut et il suffit que I et chacun des $E_t$ soient totalement ordonnés. e) Pour qu’une somme ordinaire $\sum_{t \in I} E_t$ soit un ensemble réticulé, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées: I) L’ensemble I est réticulé, et pour tout couple $(\lambda, \mu)$ d’indices non comparables dans I, $E_{\sup(\lambda, \mu)}$ (resp. $E_{\inf(\lambda, \mu)}$) admet un plus petit (resp. un plus grand) élément. II) Pour tout $\alpha \in I$ et tout couple d’éléments $(x, y)$ de $E_\alpha$ tel que l’ensemble $\{x, y\}$ soit majoré (resp. minoré) dans $E_\alpha$, l’ensemble $\{x, y\}$ admet une borne supérieure (resp. inférieure) dans $E_\alpha$. III) Pour tout $\alpha \in I$ tel que $E_\alpha$ contienne un ensemble de deux éléments non majoré (resp. non minoré) dans $E_\alpha$, l’ensemble des $\lambda \in I$ tels que $\lambda > \alpha$ (resp. $\lambda < \alpha$) admet un plus petit élément (resp. un plus grand élément) $\beta$, et $E_\beta$ a un plus petit élément (resp. un plus grand élément).