Bài tập 3, § 1

Cho I là một tập hợp có thứ tự và $(\mathrm{E}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ là một họ các tập hợp có thứ tự rỗng được đánh chỉ số bởi I.

(a) Cho F là tổng (Chương II, § 4, no. 8) của họ $(\mathrm{E}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$; với mỗi $x \in \mathrm{F}$, gọi $\lambda(x)$ là chỉ số $\iota$ sao cho $x \in \mathrm{E}_\iota$; và gọi G là đồ thị gồm tất cả các cặp $(x, y) \in \mathrm{F} \times \mathrm{F}$ sao cho hoặc $\lambda(x) < \lambda(y)$ hoặc $\lambda(x) = \lambda(y)$ và $x \leqslant y$ trong $\mathrm{E}_{\lambda(x)}$. Chứng minh rằng G là đồ thị của một quan hệ thứ tự trên F. Tập hợp F được trang bị quan hệ thứ tự này được gọi là tổng thứ tự của họ $(\mathrm{E}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ (đối với quan hệ thứ tự trên I) và được ký hiệu bởi $\sum_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{E}_\iota$. Chứng minh rằng quan hệ tương đương tương ứng với phân hoạch $(\mathrm{E}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ của F thỏa mãn các điều kiện (C) và (C′) của Bài tập 2, và rằng tập hợp có thứ tự thương (Bài tập 2) là đẳng cấu chính tắc với I.

(b) Nếu tập hợp I là tổng thứ tự của một họ $(\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ các tập hợp có thứ tự, trong đó L là một tập hợp có thứ tự, hãy chỉ ra rằng tập hợp có thứ tự $\sum_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{E}_\iota$ đẳng cấu chính tắc với tổng thứ tự $\sum_{\lambda \in \mathrm{L}} \mathrm{F}_\lambda$, trong đó $\mathrm{F}_\lambda = \sum_{\iota \in \mathrm{I}_\lambda} \mathrm{E}_\iota$ ("tính kết hợp" của tổng thứ tự). Nếu I là tập hợp được sắp thứ tự tuyến tính $\{1, 2\}$, ta viết $\mathrm{E}_1 + \mathrm{E}_2$ cho tổng thứ tự của $\mathrm{E}_1$ và $\mathrm{E}_2$. Hãy chỉ ra rằng $\mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_1$ và $\mathrm{E}_1 + \mathrm{E}_2$ không nhất thiết đẳng cấu.

(c) Một tổng thứ tự $\sum_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{E}_\iota$ là có hướng phải khi và chỉ khi I là có hướng phải và $\mathrm{E}_\omega$ là có hướng phải với mỗi phần tử cực đại $\omega$ của I.

(d) Một tổng thứ tự $\sum_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{E}_\iota$ là được sắp thứ tự toàn phần khi và chỉ khi I và mỗi $\mathrm{E}_\iota$ được sắp thứ tự toàn phần.

(e) Một tổng thứ tự $\sum_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{E}_\iota$ là một dàn khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn :

(I) Tập hợp I là một dàn, và với mỗi cặp $(\lambda, \mu)$ các chỉ số không so sánh được trong I, $\mathrm{E}_{\sup (\lambda, \mu)}$ (tương ứng $\mathrm{E}_{\inf (\lambda, \mu)}$) có một phần tử nhỏ nhất (tương ứng lớn nhất).

(II) Với mỗi $\alpha \in \mathrm{I}$ và mỗi cặp $(x, y)$ các phần tử của $\mathrm{E}_\alpha$ sao cho tập hợp $\{x, y\}$ bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) trong $\mathrm{E}_\alpha$, tập hợp $\{x, y\}$ có một cận trên nhỏ nhất (tương ứng cận dưới lớn nhất) trong $\mathrm{E}_\alpha$.

(III) Với mỗi $\alpha \in \mathrm{I}$ sao cho $\mathrm{E}_\alpha$ chứa một tập hợp gồm hai phần tử không có cận trên (tương ứng cận dưới) trong $\mathrm{E}_\alpha$, tập hợp các chỉ số $\lambda \in \mathrm{I}$ sao cho $\lambda > \alpha$ (tương ứng $\lambda < \alpha$) có một phần tử nhỏ nhất (tương ứng phần tử lớn nhất) $\beta$, và $\mathrm{E}_\beta$ có một phần tử nhỏ nhất (tương ứng phần tử lớn nhất).