习题 26, § 5

(a) 设$G$为群，在两个有限集合、$E_1$和$E_2$上运行。如果$s \in G$，令$s_1$（或$s_2$）表示$E_1$（或$E_2$）的置换，由$s$和$E_1^s$（或$E_2^s$）集合或元素定义在$s_1$（或$s_2$）下不变。

显示以下属性的等价： (i) 对于所有$s \in G$、$\mathrm{Card}(E_1^s) = \mathrm{Card}(E_2^s)$。 (ii) 对于所有$s \in G$，$s_1$（cf.no. 7，命题7）的组件周期阶与$s_2$的组件周期相同（在置换之内）。 (iii) 对于所有$s \in G$，存在双射$f_s : E_1 \to E_2$使得$s_2 \circ f_s = f_s \circ s_1$。

如果这些性质成立，则$G$集合$E_1$和$E_2$被称为弱等价。

(b) 给出两个非同构弱等价$G$集的例（将$G$视为阶4的非循环群）。

(c) 令$H_1$和$H_2$为有限群$G$中的两个子群。显示以下属性的等价： (1) 对于$G$中的每共轭类$C$，

(2) $G$-集合$G/H_1$和$G/H_2$是弱等价的。

(d) 证明，如果 $H_1$ 和 $H_2$ 满足具有上述性质 (1) 和 (2)，并且 $H_1$ 在 $G$ 中是正规的，则$H_2 = H_1$。

(e) 令 $G = \mathfrak{A}_6$ 并令

证明 $H_1$ 和 $H_2$ 满足属性 (1) 和 (2)，并且 $H_1$ 和 $H_2$ 不是 $\mathfrak{A}_6$ 中的共轭（也不是 $\mathfrak{S}_6$）。