习题 12, § 11

令 K 为特征 q 的域，K 的 $\Omega$ 代数闭扩张，$\Omega$ 的 x 元素，使得 $x \notin K$ 和 $\Omega$ 子扩展的集合的 M 极大元素不是包含 x （V、p. 156、例 9）；进一步假设 M 是完美的，因此 $M(x)$ 是 M 的素数次数 p 的伽罗瓦扩张（*loc.cit.*）。 a) 证明$p = 2$和$\Omega = M(i)$或者对于每个整数r$\geq 1$，存在M的次数$p^r$的单个扩张；这个扩张 M，在M上循环，$\Omega$是M的并，并且M，是M的有限次数中唯一的扩张。（注，如果阶$p^r$的p群$\Gamma$只有一个） 阶$p^{r-1}$的子群，它必然是循环的，通过r上的归纳论证并使用I，p. 133，Ex.10，和I，p. 77，Prop.11）。 b) 假设$\Omega \neq M(i)$ 和$p \neq q$。证明 M 包含单位元的第 p 个根；因此我们有 $M(x) = M_1 = M(\alpha)$ 和 $\alpha^p \in M$。证明如果a是$M_1$的元素的第p个幂，那么$M_1 = M(\zeta)$，其中$\zeta$是$p^2$-单位元的第根（如果$a = \beta^p$对于$\beta \in M_1$，考虑最小$M[X]$ 中$\beta$的多项式）。 c) 在b)的假设下表明，如果a不是$M_1$的元素的第p幂，则$M_r$是$M_1[X]$的多项式$X^{p^{r-1}} - a$的分裂域（使用b））。 d) 在b)的假设下，证明如果a是$M_1$的元素的第p个幂，则存在$y \in M_1$使得$\gamma \notin M$且$M_2$是$X^p - \gamma$的分裂域；证明 y 不是 $M_2$ 的元素的第 p 个幂，并推导出 $M_r$ 是 $M_1[X]$ 的多项式 $X^{p^{r-1}} - \gamma$ 的分裂域。