习题 6, § 4

令$K[G]$为$G$之代数除以$K$，并令$I$为典范同态$K[G] \to K$之核（“增广理想”）。然后

K[G] = K ⊕ I 且 I 承认基是 $g - 1$ 的族，其中 $g \in G - \{e\}$。

(a) 如果$n$是整数$\geqslant 0$，我们用$I^n$表示$K[G]$的理想$n$-第$I$的幂。令$G_n$为$g \in G$的集合，使得$g - 1 \in I^n$。证明$(G_n)$是$G$的整体中央过滤。特别是，$G_n \supset C^n G$适用于所有$n$。

(b) 证明如果 $K = \mathbf{Z}$ 映射 $g \mapsto g - 1$ 定义将$G/(G, G)$ 的商同构代入$I/I^2$。推断 $G_2 = C^2 G$.†

(c) 假设$K$是特征零的域并且$G$是有限的。证明 $I^n = I$ 对于所有 $n \geqslant 1$。

(d) 假设$K$是特征$p > 0$的域，并且$G$是$p$群。显示 $I^n\{0\}$ 对应 $n$ 足够大。 （首先使用代数、章 I, § 6, no. 5、命题 11 证明，每个简单的 $K[G]$ 模与 $K$ 同构的；推导出 $I$ 是 $K[G]$ 的根式，因此是幂零的，因为$K[G]$ 有限秩超过 $K$。）

(e) 假设$K = \mathbf{Z}$和$G$具有以下性质：对于所有$g \in G$使得$g \neq 1$，存在素数数$p$，$p$群$P$和同态 $f : G \to P$使得$f(g) \neq e$。证明在这种情况下$\bigcap_n I^n = \{0\}$。 （约化立即到$G = P$的情况。通过应用（d）到域$\mathbf{F}_p$，我们看到存在$m$使得$I^m \subset p \cdot \mathbf{Z}[G]$，并且由于$I$在$\mathbf{Z}[G]$中是直因子，因此意味着 $I^m \subset pI$、从而 $\bigcap_n I^{mn} \subset \bigcap_n p^n I$，其中约化为 0，因为 $I$ 是有限生成的阿贝尔的群。）