习题 10, § 2

设$p$为数、$p, G$有限群、阶$q$的素数数、$q$幂以及A交换环。令 $(e_g)$ 为 A 上群 G 的代数 A[G] 的典范基。

a) A[G] 的元素 $\sum a_ge_g$ 的集合 $\mathfrak{a}$ 使得 $\sum a_g= 0$ 是 A[G] 的双面理想。 如果环 A 具有特征 $p$ (V, §1, No. 2, p. 2)，那么对于每个 $x\in \mathfrak{a}$，我们都有 $x^q= 0$（$q$ 上有使用归纳法；如果 $q\not= 1$，选择元素 G 的阶 $h$ 中心 $p$（I, §6, No. 5，p. 77，命题 11 的推论），并从归纳假设推出存在$y\in A[G]$，使得 $x^{q/p}= (1-e_h)y$）。

b) 假设A为局部环，最大理想为$\mathfrak{m}$，域$A/\mathfrak{m}$具有特征$p$。证明环 A[G] 是局部的，并且其最大理想是元素 $\sum a_ge_g\in A[G]$ 的集合，使得 $\sum a_g\in \mathfrak{m}$。

（设S是一个简单的A[G]-模；证明S被$\mathfrak{m}$湮灭，然后由I, §6, No. 5、p. 76的应用命题 11，到S的非零元素生成的$\mathbf{Z}$[G]-子模，即S包含元素 G 下不变量。）