Bourbaki

习题 4, § 6

标签 05EF，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 05EF]。

代数, I, 147

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 令G为阶mnmn的有限群，使得存在G的正常子群H，它是阶m的循环，商群G/H是阶n的循环。证明 G 由两个元素 a, b 生成，使得 am=e,bn=ar,bab−1=asa^m = e, b^n = a^r, bab^{-1} = a^s，其中 r 和 s 是两个整数，使得 r(s−1)r(s - 1) 和 sn−1s^n - 1 是 m 的倍数（取 a 为陪集的元素生成的 H，b 元素生成的 G/H；将元素 bhakb−hb^h a^k b^{-h} 表示为 a 的幂，尤其适用于h=n,k=1h = n, k = 1 和 h=1,k=rh = 1, k = r）。

(b) 相反，让 G(m,n,r,s)G(m, n, r, s) 为由演示定义的群

⟨a,b;am=e,bn=ar,bab−1=as⟩, \langle a, b ; a^m = e, b^n = a^r, bab^{-1} = a^s \rangle,

其中 m 和 n 是两个整数 ⩾0\geqslant 0，r 和 s 是任意整数 (cf. § 7, no. 6)；表明，如果 m、r(s−1)r(s - 1) 和 sn−1s^n - 1 不都是零，则G(m,n,r,s)G(m, n, r, s) 是阶 qnqn 的有限群，其中 q 是 m 的最大的公共的除子， ∣r(s−1)∣|r(s - 1)|和∣sn−1∣|s^n - 1|；在这个群中，a生成的子群 H是阶 q的正规子群，G/H是阶 n的循环群（证明G(m,n,r,s)G(m, n, r, s)的每个元素都可以写成形式） axbya^x b^y，其中x和y是两个整数，使得0⩽x⩽q−1,0⩽y⩽n−10 \leqslant x \leqslant q - 1, 0 \leqslant y \leqslant n - 1，并且G(m,n,r,s)G(m, n, r, s)同构于受上述条件影响的整数的有序对(x,y)(x, y)的群由……组成， 律 / 合成

(x,y)⋅(x′,y′)={(x+x′sy,y+y′)if y+y′≤n−1(x+x′sy+r,y+y′−n)if y+y′≥n (x, y) \cdot (x', y') = \begin{cases} (x + x's^y, y + y') & \text{if } y + y' \leq n - 1 \\ (x + x's^y + r, y + y' - n) & \text{if } y + y' \geq n \end{cases}

右侧的第一个坐标是和模qq。检查 m=r(s−1)=sn−1=0m = r(s - 1) = s^n - 1 = 0 的情况。

群G(n,2,0,−1)G(n, 2, 0, -1)称为阶2n2n的*二面体群*，记为Dn\mathbf{D}_n； 群 G(4,2,2,−1)G(4, 2, 2, -1) 是阶 8 的群，称为*四元数群*，并用Q\mathfrak{Q} 表示。证明在Q\mathfrak{Q}中，每个子群都是正常的，并且子群与{e}\{e\}不同的交与{e}\{e\}不同，是子群。证明 D4\mathbf{D}_4 与 Q\mathfrak{Q} 不同构*

解答

尚未写出解答。

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