习题 6, § 5

令$P$为素数数的集合，令$S_P$为$P$整数（§ 4，习题14）的集合，并令$\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$。

(a) 假设对于所有$s \in S_P$，映射$k \mapsto sk$是$K$的双射自身；这相当于说，$K$可以被赋予$\mathbf{Z}_P$-代数结构。

利用记号的习题 5，证明对于所有 $s \in S_P$，$\Gamma$ 的映射 $a \mapsto a^s$ 自身是双射的，对于 $n \geq 1$ 的每个商 $\Gamma/\Gamma_n$ 也是如此。如果$t \in \mathbf{Z}_P$和$a \in \Gamma$（分别为$a \in \Gamma/\Gamma_n$），则$a^t$定义为习题 16 of § 4；将$a$写入形式$1 + \alpha$，其中$\alpha \in \hat{A}_1(X)$，表明

（注即系数$\binom{t}{n}$属于到$\mathbf{Z}_P$、cf.习题4。）

(b) 现在假设$K = \mathbf{Z}_P$。设$c$为整数$\geq 1$。 群 $F^c = F/C^cF$ 通过从 g 取商（定理 2 的记号）得出的同态与$\Gamma/\Gamma_c$ 的子群进行识别。 群 $\Gamma/\Gamma_c$ 是类 $<c$ 的 P-无扭 P-整除群。令$F_P^c$为$\Gamma/\Gamma_c$中$F^c$的P饱和度（§ 4，习题14），令i为$F^c$到$F_P^c$的单射。 有序对 $(i, F_P^c)$ 是 $F^c$ (§ 4, 习题 15) 的 P 信封。推论每个幂零群都有一个P-包络（注，类$<c$的每个幂零群是群$F^c$对合适X的商，并使用部分 (b) 习题 15 / § 4)。

(c) 如果$n \leq c$，则令$F_{P,n}^c$为$F_P^c$与$\Gamma_n/\Gamma_c$的交；如果$n \geq c$，我们写$F_{P,n}^c = \{e\}$。证明 $F_{P,n}^c$ 是 $C^n F^c$ 在 $\Gamma/\Gamma_c$ 中的 P 饱和度。过滤$(F_{P,n}^c)$是$F_P^c$的整体中央过滤；令 $\mathrm{gr}(F_P^c)$ 为与此过滤相关的分级模。证明，若$n < c$，则$\mathrm{gr}_n(\Gamma) = A_{\mathbf{Z}_p}(X)$中$\mathrm{gr}_n(F_P^c)$的像为$S_P^{-1}L_{\mathbf{Z}}(X) = L_{\mathbf{Z}_p}(X)$。推断出李代数$\mathrm{gr}(F_P^c)$是由次数1的元素生成的，因此对于所有$n$（§ 4，习题1）来说，$F_{P,n}^c = C^n(F_P^c)$。证明群 $F_P^c$ 是由 $x \in X, s \in S_P$ 的 $x^{1/s}$ 生成的（注其中元素中的像在 $\mathrm{gr}_1(F_P^c) \simeq \mathbf{Z}_p^{(X)}$ 生成群 $\mathrm{gr}_1(F_P^c)$）并应用推论 3至命题 8（共代数、章 I, § 6, no. 3）。

(d) 令H为相对于X(§ 2, no. 10)的霍尔集合，并令$H(c)$为长度$<c$的元素的H由……组成的子集。对于$m \in H(c)$，令$\phi_c(m)$表示由m定义的基本换位子$\phi(m)$的$F^c$中的像（cf.no. 4，注）。证明，对于所有 $w \in F_P^c$，存在唯一元素 $\alpha \in \mathbf{Z}_P^{(H(c))}$ 使得

（使用上面获得的$\mathrm{gr}(F_P^c)$的确定。）