习题 8, § 2

设A为特征$\neq 2$的交换域K非空子集；那么，如果 A 的元素不存在于 K 中平方的和，则称 K 是 A 可有序的。如果存在与其环结构兼容的 K 的全序，则称 K 是可有序的。 a) 表明如果 K 是 A-可有序的，那么它是可有序的（例 7），因此具有特征（0）。 b) 证明 A 有序域 K 的奇数次数的纯扩张和代数扩张是 A 有序的（论证如 VI、p. 23 的命题 3）。 c) 令 K 为 A 有序域，并令 b 为 K 的元素，而不是形式 $ca - d$，其中 $a \in A$、c 和 d 为 K 中平方的和。证明域 $K(\sqrt{b})$ 是 A 有序。 d) 如果 K 的真代数扩张不存在 A 有序，则 A 有序域 K 称为最大。证明最大 A 可序域 K 具有以下性质： 1. K 是勾股定理，在其他字中，平方的每个和都是平方； 2. A 中没有元素是平方； 3. K 中每一个不是平方的元素都有形式 $c^2u - d^2$，其中 $u \in A$； 4. $K[X]$ 中的每个奇数次数多项式在 K 中至少有一个根（使用 b) 和 c))。 e) 证明如果 K 满足 d) 的条件，则对于某个 q，K 上的每个元素代数在 K 上都有次数 $2^q$（如 VI、p. 26 的 Prop. 8 中那样，在 2 的指数上除以归纳） 次数或元素正在考虑中）。另一方面证明 K 的二次方扩张不是 A 阶的。推导出 K 是最大 A 可序域（使用伽罗瓦理论和I、p. 77 的第 12 条命题）。 f) 令 K 为 K 的 A 可有序域和 $\Omega$ 代数闭扩张。证明存在包含在 $\Omega$ 和包含 K 中的最大 A 可有序域。