习题 16, § 4

我们保留前两个习题的记号。 (a) 令 S_P 为 P 整数中的集合，并令 $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$ 为由 S_P (交换代数, 章 II, § 2, no. 1) 定义的 $\mathbf{Z}$ 的分数中的环。假设 G 是幂零的、P 无扭力且 P 可整除，并设 $t \in \mathbf{Z}_P, g \in G$。证明 G 中存在且仅有一个元素 h，使得对于所有 $s \in S_P$ $h^s = g^{st}$ 使得 $st \in \mathbf{Z}$。 元素 h 称为 g 的第 t 个幂，记为 $g^t$。 映射 $t \mapsto g^t$ 是 $\mathbf{Z}_P$ 的同态到 G 中。如果 t 在 $\mathbf{Z}_P$ 中可逆，则 $g \mapsto g^t$ 是双射的。 （使用习题 14 (c)）。 (b) 令 A 为可交换的群，并令 i 为 A 到 $A_P = \mathbf{Z}_P \times A$ 的典范映射。证明 $(i, A_P)$ 是 A 的 P 包络。 (c) 设 G（分别为 $\overline{G}$）为阶 n 在环 k（分别为环 $k_P = k \otimes \mathbf{Z}_P$）上的下严格三角形群，并令 i 为 G 的同态到由典范同态定义的$\overline{G}$ k 变为 $k_P$ (代数, 章 II, § 10, no. 4)。证明 $(i, \overline{G})$ 是 G 的 P 包络。 (d) 设 G 是有限幂零群，因此是其 Sylow p 群$G_p$ (代数，章 I, § 6, no. 7，定理 4) 的直乘积。令$\overline{G}$为$p \notin P$的$G_p$的乘积，并令i为G在$\overline{G}$上的规范投影。证明 $(i, \overline{G})$ 是 G 的 P 包络。