习题 17, § 2

设 A 为环、$n$ 整数和 $X\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$。

a) 假设环 A 是局部的。证明$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$中存在矩阵$P,Q$，即A的形式$B_{ij}(\lambda )$(II, §10, No. 13，p. 361)矩阵乘积和可逆元$\delta$，使得我们有PXQ = diag(1$, . . . ,1, \delta$ )（遵循前述文献中命题 14 的证明）。

b) 假设环 A 为欧氏 (VII, §1, p. 49, 习题 7)。证明同样的结果。

c) 如果A是局部环或欧氏交换环，则群$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(A)$由矩阵$B_{ij}(\lambda )$生成。

d) 假设A是局部的，并用$\mathfrak{m}$表示其最大理想。证明$\mathbf{M}_n(A)$中的每个矩阵以及$\mathbf{M}_n(A/\mathfrak{m})$中可逆的像本身都是可逆的（使用II, §10, No. 13、p. 361中的引理 1）。