Exercice 17, § 2

Soient A un anneau, $n$ un entier, $X\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$.

a) On suppose l’anneau A local. Démontrer qu’il existe des matrices $P,Q$dans $\mathbf{G}L_n$(A), produits de matrices de la forme $B_{ij}(\lambda )$ (II, p. 161), et un élément inversible $\delta$ de A, telles qu’on ait PXQ = diag(1$, . . . ,1, \delta$ ) (raisonner comme dans la démonstration de la prop. 14 de loc. cit.).

b) On suppose l’anneau A euclidien (VII, p. 49, exerc. 7). Démontrer le même résultat.

c) Si A est un anneau commutatif local ou euclidien, le groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(A)$ est engendré par les matrices $B_{ij}(\lambda )$.

d) On suppose que A est local et on note $\mathfrak{m}$ son idéal maximal. Prouver que toute matrice de $\mathbf{M}_n(A)$ dont l’image dans $\mathbf{M}_n(A/\mathfrak{m})$ est inversible est elle-même inversible (utiliser le lemme 1 de II, p. 161).