Bài tập 17, § 2

Cho A là một vành, $n$ là một số nguyên, và $X\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$.

a) Giả sử rằng vành A là địa phương. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận $P,Q$ trong $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$ là các tích của các ma trận dạng $B_{ij}(\lambda )$ (II, §10, No. 13, p. 361) và một phần tử khả nghịch $\delta$ của A, sao cho ta có PXQ = diag(1$, . . . ,1, \delta$ ) (theo chứng minh của Mệnh đề 14 của loc. cit.).

b) Giả sử rằng vành A là Euclid (VII, §1, p. 49, Bài tập 7). Chứng minh cùng kết quả đó.

c) Nếu A là một vành địa phương hoặc một vành giao hoán Euclid, thì nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(A)$ được sinh bởi các ma trận $B_{ij}(\lambda )$.

d) Giả sử rằng A là địa phương, và kí hiệu iđêan cực đại của nó bởi $\mathfrak{m}$. Chứng minh rằng mọi ma trận trong $\mathbf{M}_n(A)$ có ảnh khả nghịch trong $\mathbf{M}_n(A/\mathfrak{m})$ thì bản thân nó cũng khả nghịch (dùng Bổ đề 1 của II, §10, No. 13, p. 361).