如果是这样，推导 D 是唯一的并且满足

将 $E = K[X_i]_{i \in I}$ 写入 $\varphi$，表示 E 的 K 同态到 A 上，其中对于所有 $i \in I$，映射 $X_i$ 到 $x_i$；因此，对于所有 $f \in E$，我们都有 $\varphi(f) = f(x)$。我们将 M 视为 E 模，通过同态 $\varphi : E \to A$ 和定义映射 $D'$ 将 E 通过 $D'(f) = f^\Delta(x) + \sum_{i \in I} D_i f(x) \cdot m_i$ 转换为 M（注，$(D_i f)_{i \in I}$ 系列中的每个 $f \in E$ 都有有限支撑）。很明显，$D'$ 是 E 到 M 中唯一的推导，将 A 延伸，并且对于每个 $i \in I$，映射 $X_i$ 到 $m_i$。

令 D 为 A 到 M 的推导，使得对于所有 $c \in K$ 为 $D(c \cdot 1) = \Delta(c)$，对于所有 $i \in I$ 为 $D(x_i) = m_i$。那么$D \circ \varphi$是E到M的推导延伸A和映射$X_i$到$m_i$对于所有$i \in I$。因此我们有 $D \circ \varphi = D'$，即关系 (2) 成立。这证明了 D 的唯一性 ；而且(1)是$f, (x) = 0$和(2)中的推论。

反之假设 (1) 成立；在其他字中，我们对所有$\lambda \in A$都有$D'(f_\lambda) = 0$。设 $f \in a$； $E$中存在有限支撑$(q_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$的族，使得$f = \sum_{\lambda \in \Lambda} q_\lambda \cdot f_\lambda$。我们有

从而 $D'(f) = 0$ 因为$f_\lambda(x)$和$D'(f_\lambda)$对于所有$\lambda \in A$来说都是零。由于$D'$在$a$上消失，因此存在$A$到$M$的$Z$线性映射$D$，使得$D' = D \circ \varphi$；显然$D$是$A$到$M$所需的推导。

a) 令$V$比$L$除向量空间，$K$的$A$推导变成$V$和$(v_i)_{i \in I}$，元素和$V$的族。 $L$到$V$存在唯一的推导$D$，延伸$A$，这样对于所有$i \in I$都有$D(x_i) = v_i$。

b) $K$-$L$的微分的向量$L$-空间$\Omega_K(L)$具有$(dx_i)_{i \in I}$族基。

断言 b) 已在IV、p. 23 和断言 a) 中得到证明，由此可直接得出。

命题 3, a) 表明，在 $L$ 扩展上，每一次将 $K$ $P$ 推导为向量空间 $V$，再将 $L$ $P$ 推导为 $V$； $\alpha$ 的单射性则由命题 2 得出。推论的第二个断言由序列 $(\mathbf{E}_{P,K,L})$ 和命题 3, b) 的精确性得出（考虑到公式 (4)）。

a) 每个$L$到$V$的$K$导数都是零。

b) 如果$A$是$K$到$V$的推导，则存在$L$到$V$的唯一推导$D$，其中扩展$A$。

令$D$为$L$到$V$的$K$导数。如果$E$是有限次数的$L$在$K$上的子扩展，则$K$-代数$E$是etale，因此$\Omega_K(E) = 0$（$V$，p. 33，Th.3），从而 $D|_E = 0$乘泛性质共$\Omega_K(E)$（III，p. 569）。由于$L$是有限次数在$K$上的子扩展族的并，所以我们有$D = 0$，从而a)。

设$A$为$K$的推导入$V$。 如果$D'$和$D''$是$A$的两个扩张到$L$的推导到$V$，那么差$D' - D''$是$L$到$V$的$K$推导；因此 a) 等于零，所以 $D' = D''$。

还需要证明$A$的扩张的存在性。 Zorn 的引理 (E, III, p. 20) 意味着存在在 $L$ 包含的子域 $L_0$ 上定义的 $A$ 到推导的最大扩张 $D_0$ $K$。

令 $x$ 位于 $L$ 和 $g$ 中，$x$ 在 $L_0$ 上的最小多项式。由于 $L$ 是代数且在 $K$ 上可分，$x$ 是代数且在 $L_0$ 上可分（$V$、p. 39，第 6 条命题和 p. 39，Cor. 2）；因此 $x$ 是 $g$（$V$、p. 39，命题 5）、从而 $g'(x) \neq 0$（IV、p. 17、命题 7）的简单根。如果我们像$V$、p. 127那样定义$g^{D_0}(x)$，则存在$V$的元素$u$使得$g^{D_0}(x) + g'(x) \cdot u = 0$；根据命题1（V，p. 127），存在$L_0(x)$的推导$D$延伸到$V$延伸$D_0$，从而$D(x) = u$。鉴于 $(L_0, D_0)$ 的最大特征标，我们因此有 $L_0(x) = L_0$、从而 $x \in L_0$。由于$x$是任意的，我们结论即$L_0 = L$。

推论来自于命题 4，a)，因为向量$L$-空间$\Omega_K(L)$是由规范$K$-推导$d_{L/K} : L \to \Omega_K(L)$的像生成的。

映射 $\alpha$ 由命题 2 (V, p. 128) 和命题 4, b) 内射；由于 $\Omega_K(L)$ 约化到 0（Cor. 1），序列 $(E_{P.K.L})$ 的精确性意味着 $\alpha$ 是满射的。

设A为K的推导入L，与K上的D一致。根据命题4（V，p. 129），存在L的推导D'入L延伸A。现在我们可以考虑D'和限制D'' D 到 L 作为 $L$ 的推导到 E ；因为他们在 K 上达成一致，所以根据第 4 条命题我们有 $D' = D''$，从而

把$E = K(x_i)_{i \in I}$；命题3（V，p. 128）表明，扩展到E的唯一推导$D_0$进入V，使得$D_0(x_i) = u_i$适用于所有$i \in I$。 域 $L$ 是 E 的代数扩张，并且由于 L 的特征为 0，L 在 E 上可分（V，p. 37，Cor.）。因此（V，p. 129，命题4）$D_0$扩展到$L$的唯一推导D到V。

对于每个 $y \in L$ 令 D(y) 为 $dy$ mod U 的剩余类类。则 D 是 L 到 $\Omega_K(L)/U$ 的 E 导数。由于 K 的特征为 0，因此 E 的每个代数扩张都是可分的 (V, p. 37, Cor.) ；如果$x \in L$是E上的代数，则根据命题4（V，p. 129）我们有$Dx = 0$，即$dx \in U$。

如果$x \in L$超越$E$，则存在$E(x)$到$L$的E推导$A$，使得$\Delta(x) = 1$（$V$，p. 128，命题3）；通过 Th。 1、 $A$ 扩展到 $L$ 的 E 导数 D 到 L。令$\varphi$为$\Omega_K(L)$上的线性形式，使得$D = \varphi \circ d$；我们有 $\varphi(dy) = 0$ 对应 $y \in E$ 和 $\varphi(x) = 1$，从而 $dx \notin U$。

Lane 准则 (V、p. 124、注)、域、$L^p$ 和 $K$ 与不相交的与 $K^p$ 呈线性关系。 由于$A$是$K$到$V$的$K^p$线性映射，因此扩展以独特的方式将$K[L^p] = K(L^p)$到$V$的$L^p$线性映射$A'$。 很明显，$A'$是$K(L^p)$的推导进入$V$，在$L^p$上消失；因此，它将$L$的扩展（V，p. 103，Cor.3）到推导转换为$V$。

相反，假设$K$的每个推导和$L$扩展中的值到$L$的推导都进入$L$。 Let $B$ be a p-basis of $K$ (V, p. 99) and let $A$ be the set of families $(\alpha_h)_{h \in R}$ with finite support consisting of integers between $()$ and $p - 1$. 对于每个$b \in B$，存在$K$到$K$的推导$\Delta_b$，其特征在于每个$b' \in B$（V，p. 103）的$\Delta_b(b') = \delta_{bb'}$（克罗内克符号）。 到假设，$L$的每个$b \in B$推导$D_b$都存在延伸$\Delta_b$的$L$。 对于$B$中的$b, b'$，我们有$D_b(b') = \delta_{bb'}$，这证明在$\Omega_{1/p}(L)$中，微分$db$（对于$b \in B$）在$L$上是线性无关的。 因此 (V, p 102, Th.1), $B$ 在 $L^p$ 上是无 p 的。 由此可见（V，p. 98，命题1和p. 124，注）$K$的扩张$L$是可分的。

第一个断言源自命题 2 (V, p. 128) 和 Th。 3.反之，令$P$为$K$的完美子域；我们有$P = P^p \subset K^p$，因此$K$到向量$L$空间的每个推导都是$P$衍生；现在，推论的第二个断言来自Cor。 2 (V、p. 130) 和 Th。 3.

令$N$为核、$I$像和$C$余核/$f$。我们有$C = V/I$，$I$与$U/N$同构的；因此我们有 $[U : L] = [N : L] + [I : L]$ 和 $[V : L] = [C : L] + [I : L]$，从而结果。

$^1$ 不一定可交换。 $^2$ 在左边。

设$h = g \circ f$，分别用N、N'、N''核off、g、h表示，并用C、C'、C''表示它们的余核。我们有$N \subset N'' \subset U$和$f(N'') = f(U) \cap N'$；因此存在线性映射$\bar{f} : N'' \to N'$与N''上的f一致并且与核N一致。V的典范映射$\pi$到N'的$C = V / f(U)$诱导映射$\pi'$到C，其核是 $f(U) \cap N' = \bar{f}(N'')$。通过将 $C = V/f(U)$ 的商 g 定义映射 $\bar{g}$ 代入 $C'' = W/g(f(U))$，其中核显然是 $(N' + f(U))/f(U) = \pi'(N')$。最后，$C'' = W/g(f(U))$的典范映射$\rho$到$C' = W/g(V)$有核$g(V)/g(f(U)) = \bar{g}(C)$。到和以上，我们已经确定了序列的准确性

（其中 i 是 N 中 N 的典范嵌入”）。

!图表表示N、N'、N''、U、V、W、C、C'、C''之间的关系，箭头表示映射和核

图1

由假设 N、N'、C 和 C' 组成有限维；因此 N'' 和 C 也是如此。由科. 2 (II, p. 295) 那么我们有

从而$\chi(h) = \chi(f) + \chi(g)$。

如果$E$和$F$是$L$的两个子扩展，使得$E \subset F$，我们用$\alpha(F/E)$表示$\Omega_p(E) \otimes_E F$到$\Omega_p(F)$的规范$F$线性映射，并且当它被定义时，指标 $\alpha(F/E)$将被写成$d(F/E)$。如果$E, F$和$G$是$L$的三个子扩展使得$E \subset F \subset G$，我们有一个可交换的图表

其中 $\beta$ 是提案 2 中定义的典范同构（II，p. 278）。由于指标在扩张下通过标量显然是不变的，并且同构的指标是零，引理2（$V$，p. 133）表明指标当 $d(F/E)$ 和 $d(G/F)$ 时，$d(G/E)$ 被定义，然后

由于 $L$ 是 $K$ 的有限生成的扩张，公式 (5) 和 Cor. $V$、p. 111表明，考虑$x$存在使得$L = K(x)$的情况就足够了；进一步，如果$x$是$K$上的代数，则存在$L$的特征指数幂$q$，使得$x^q$是$K$上的可分代数（$V$，p. 44，命题1） 13）。因此在以下三种特殊情况下建立等式$d(L/K) = \operatorname{tr} . \deg_K L$就足够了：

a) $x$ 超越 $K$：则 $a$ 是单射，其余核是秩 1 超过 $L$（$V$，p. 129，Cor.）；所以我们有$d(L/K) = 1$，还有$\operatorname{tr} . \deg_K L = 1$。

b) $x$ 是 $K$ 上的可分代数：则 $a$ 是双射 ($V$, p. 130, Cor. 2), 从而 $d(L/K) = 0$;显然也是$\operatorname{tr} . \deg_K L = 0$。

c) 域$L$具有特征$p \neq 0$，$x \notin K$和$x^p = a$在$K$中：$a$的余核$C$与$\Omega_K(L)$同构的，并且因为$\{ x \}$是$p$-$L$超过$K$、空间$C$的基础是维数1超过$L$（$V$、p. 102、Th.1）。由于$a$是$L$中的第$p$幂，因此我们有$a$包含子空间$R$生成$U = \Omega_p(K) \otimes_K L$的$d_{L/pa} = 0$和核 $d_{K/pa} \otimes 1$。对于每个 $y \in K$ 令 $\Delta(y)$ 为剩余类类 of $d_{K/p}y \otimes 1$ mod $R$；那么$A$是$K$到$U/R$的$P$衍生，这样$\Delta(a) = 0$。命题5（$V$，p. 101）表明$A$扩展到$L$的$P$衍生$D$到$U/R$。因此，存在$L$线性映射$\beta : \Omega_p(L) \to U/R$，使得$D = \beta \circ d_{L/P}$和$\beta \circ a$是$U$到$U/R$的典范映射。这证明$R$是$a$的核。由于 $P$ 是完美的，所以我们有 $P(K^P) = K^p$、从而 $a \notin P(K^P)$，最后是 $d_{K/pa} \neq 0$（$V$、p. 103，第 6 条）。因此，$a$的核和余核是维数1，从而$d(L/K) = 0$，并且我们还有$\operatorname{tr} . \deg_K L = 0$。

设 P 为 K 的素数子域。设 N 为 α 的核，然后通过序列 $(\mathbf{E}_{P,K,L})$ (V, p. 128) 和 Th 的精确性。 4、我们有$[ \Omega_K(L) : L ] = s + [N : L]$；通过V，p. 132，Cor.，扩张L，K 是可分离的当且仅当$N = 0$。现在推论如下。