习题 8, § 16

设$k$为域，$L$扩张为$k$。证明以下条件是等价的：

(i) $L$ 是有限生成的纯超越扩张的可分离代数扩张。

(ii) $L$ 是 $k$ 的可分扩张且

（为了证明 (ii) ⇒ (i)，我们可以进行如下操作：令 L 中的 x_1, ..., x_n 使得 dx_1, ..., dx_n 形式基 of $\Omega_k(L)$ 并设 K = k(x_1, ..., x_n)。 首先表明 tr。 deg_k(K) = n 因此 K 是 k 的纯超越扩张。 令L'为L中包含的K的有限代数扩张。 通过比较典范映射 $u : \Omega_k(K) \otimes_K L' \to \Omega_k(L')$ 与典范映射 $\Omega_k(K) \otimes_K L \to \Omega_k(L)$，证明 u 是单射的。 计算 [$\Omega_k(L') : L'$]（V、p. 134、Cor.1）。 推断 u 是双射的，因此 $\Omega_k(L') = 0$。 证明 L' 在 K 上可分；推断 L 在 K 上是可分的。）