习题 2, § 19

a) 设 A 为有限秩在其中心 K 上的简单环，并令 $s$ 为 A 的内合反自同构。设 $s'$ 为 A 的内合反自同构，重合与 $s$ 在 K 上。证明存在A 的元素 $a$，这样对于每个 $x\in A$ 和 $s(a) =a$ 或 $s(a) =-a$，我们都有 $s'(x) =as(x)a^{-1}$（应用 V, §11, No. 6、p. 85 的 Skolem–Noether 定理和定理 3）。同时证明逆命题。

b) 假设$s$对K的限制不是恒等式；令$K_0$为由$s$固定的元素的K由……组成的子域。证明 A 的元素 $a$ 的集合 $A_0$（分别为 $A_1$），使得 $s(a) =a$（分别为 $s(a) =-a$）是 A 的维数的 $K_0$ 线性子空间 [A : K] 并且 $A_0$ 是 A 上的 $K_0$ 结构（使用 V, §10, No. 4、p. 63、命题 7）。

c) 假设$s$对K的限制是恒等式； 集合$[A : K] =m^2$。证明$A_0$是A的维数$m(m+ 1)/2$或$m(m-1)/2$的$K_0$线性子空间（约化对于A在K上矩阵代数的情况并使用a））。