习题 10, § 10

令K为完美域，使得对于每个整数$n > 1$，存在K的伽罗瓦扩张N个，使得$\mathrm{Gal}(N/K)$同构于交错的群$\mathfrak{A}_n$；对于例，对于无限个不定中有理分式的特征 0 域 $K = k(X_e)_{e \in \mathbf{N}}$ 的每一个域 k 都有这个性质 (V, p. 59, 例 5)。 a) 令 A 为整数 $> 1$ 的有限集合，令 $\Omega$ 为 K 的代数闭包。 如果存在 K 的扩张的递增序列 $K = E_0 \subset E_1 \subset \ldots \subset E_r \subset \Omega$，使得次数 $[E_j : E_{j-1}]$ 属于中的每一个对于 $1 \leq j \leq r$ 和 $x \in E_r$ 来说，元素 $x \in \Omega$ 被认为是 A 可构造的。 证明子扩展$E \subset \Omega$的集合中存在极大元素L，使得每个$x \in E$都是A可构造的。 对于每个$x \notin L$显示次数$[L(x) : L]$属于到$N - A$。 b) 令 a 为 A 的最大元素，并令 $n$ 为整数，使得 $n \geq \max(a + 1, 5)$。 证明存在L 的扩张 M 使得$[M : L] = n$。 （首先观察存在次数$n$的不可约多项式$f \in K[K]$，使得如果N是f的分裂域，则$\mathrm{Gal}(N/K)$同构于$\mathfrak{A}_n$；令$y \in \Omega$为$\Omega$中f的根，并令$E = K(y)$。 证明我们必然有 $E \cap L = K$，因此 $L(E)$ 是所需的域。 通过矛盾论证，注意到$E \cap L$的元素是A可构造的，并且关系$E \cap L \neq K$意味着$\mathfrak{A}_n$的正常子群$\Gamma$的存在，使得$1 < (\mathfrak{A}_n : \Gamma) < n$，这与$\mathfrak{A}_n$的简单性相矛盾（I， p. 143，例如 16)。）