习题 5, § 2

在有序集合 $X$ 上，令 $\mathfrak{T}_0(X)$（分别为 $\mathfrak{T}_+(X)$、$\mathfrak{T}_-(X)$）表示由所有开区间的集合生成的拓扑（分别为右半开区间的集合、左半开区间的集合），有界或不。

a) 证明如果$X$是线性有序的，则$\mathfrak{T}_0(X)$（分别是$\mathfrak{T}_+(X)$、$\mathfrak{T}_-(X)$）的开区间（分别是右半开、左半开）区间形式基；并且在这三种拓扑中，闭区间都是闭的集合。

b) 在线性排序的集合 $X$ 上，证明拓扑 $\mathfrak{T}_+(X)$ 比右拓扑 ($§ 1$, 习题 2) 更细更细拓扑 $\mathfrak{T}_-(X)$ 是更细比左边的拓扑大，拓扑$\mathfrak{T}_0(X)$是$\mathfrak{T}_+(X)$和$\mathfrak{T}_-(X)$中的交。

c) 令 $X$ 为线性排序的集合。证明 $\mathfrak{T}_0(X)$ 具有可数基的必要且充分条件是，应该存在 $X$ 的可数子集 $D$，使得对于每个 $x \in X$ 和每个间隔 $]a, b[$ 包含 $x$，存在$\alpha \in D$和$\beta \in D$使得

[cf. 章 IV、$§ 2$、习题 11 c)]。

d) 证明如果 $X$ 是良序的（*集合理论*、章 III、$§ 2$），则拓扑 $\mathfrak{T}_+(X)$ 是离散的拓扑，并且拓扑 $\mathfrak{T}_0(X)$ 和$\mathfrak{T}_-(X)$ 相同。