习题 1, § 9

多项式 $X^2 - 2$ 在 $\mathbf{Q}[X]$ 中不可约 (cf. I, p. 51, Th. 7)；设$a$为$\mathbf{Q}$的代数闭包$\Omega$中的根之一。证明多项式 $X^2 - \alpha$ 在 $E = \mathbf{Q}(a)$ 上不可约；令$\beta$为$\Omega$中该多项式的根之一，并令$F = E(\beta) = \mathbf{Q}(\beta)$。证明$F$不是$\mathbf{Q}$的拟伽罗瓦扩展；由$F$生成的$\mathbf{Q}$的拟伽罗瓦扩展是什么？