Bài tập 1, § 9

Đa thức $X^2 - 2$ là bất khả quy trong $\mathbf{Q}[X]$ (xem I, p. 51, Th. 7); cho $a$ là một trong các nghiệm của nó trong một bao đóng đại số $\Omega$ của $\mathbf{Q}$. Chứng minh rằng đa thức $X^2 - \alpha$ là bất khả quy trên $E = \mathbf{Q}(a)$; cho $\beta$ là một trong các nghiệm của đa thức này trong $\Omega$ và cho $F = E(\beta) = \mathbf{Q}(\beta)$. Chứng minh rằng $F$ không phải là một mở rộng quasi-Galois của $\mathbf{Q}$; mở rộng quasi-Galois nào của $\mathbf{Q}$ được sinh bởi $F$?