习题 15, § 4

设$\mathscr{F}$为群稳定子群的集合，运算符为$G$；如果按包含顺序排列的 $\mathscr{F}$ 中的每一个子集都有一个最大值（或最小值）元素，则称 $\mathscr{F}$ 为满足的最大值条件（或最小值条件）。

假设群 G 的所有稳定子群中的集合满足最小条件。

(a) 证明不存在与G同构且与G不同的G的稳定子群（通过反证论证，证明假设将意味着G的稳定子群存在严格递减无限序列）。

(b) G 的正常稳定子群的集合的最小元素而不仅仅是e 的由……组成被称为最小正常稳定子群。 Let $\mathfrak{M}$ be a set of minimal normal stable subgroups of G and S the smallest stable subgroup of G containing all the subgroups belonging to $\mathfrak{M}$; show that S is the direct product of a finite number of minimal normal stable subgroups of G (let $(M_n)$ be a sequence of minimal normal stable subgroups of G belonging to $\mathfrak{M}$ and such that $M_{n+1}$ is not contained in the stable subgroup generated by the union of $M_1, M_2, \ldots, M_n$; let $S_k$ be the stable subgroup generated by the union of the $M_n$ of index $n \geq k$; show that $S_{k+1} = S_k$ after a certain rank and therefore that $(M_n)$ is a finite sequence; finally use no. 9, Proposition 15).

(c) 如果 G 是不带运算符的群，则证明 G 的每个最小法线子群 M 都是与另一个同构的简单群的有限数的直乘积（令 N 是 M 的最小法线子群；证明 M 是最小的子群 G 包含所有子群 $aNa^{-1}$，其中 a 贯穿 G，然后将 (b) 应用于群 M)。