Bài tập 15, § 4

Cho $\mathscr{F}$ là một tập hợp các nhóm con ổn định của một nhóm có toán tử $G$; người ta nói rằng $\mathscr{F}$ thỏa mãn điều kiện cực đại (tương ứng, điều kiện cực tiểu) nếu mọi tập con của $\mathscr{F}$, được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, đều có một phần tử cực đại (tương ứng, cực tiểu).

Giả sử rằng tập hợp tất cả các nhóm con ổn định của một nhóm G thỏa mãn điều kiện cực tiểu.

(a) Chứng minh rằng không tồn tại nhóm con ổn định nào của G đẳng cấu với G và phân biệt với G (lập luận bằng phản chứng bằng cách chỉ ra rằng giả thiết ấy sẽ kéo theo sự tồn tại của một dãy vô hạn giảm nghiêm ngặt các nhóm con ổn định của G).

(b) Các phần tử cực tiểu của tập hợp các nhóm con ổn định chuẩn tắc của G không chỉ gồm e được gọi là các nhóm con ổn định chuẩn tắc cực tiểu. Cho $\mathfrak{M}$ là một tập hợp các nhóm con ổn định chuẩn tắc cực tiểu của G và S là nhóm con ổn định nhỏ nhất của G chứa tất cả các nhóm con thuộc $\mathfrak{M}$; hãy chứng minh rằng S là tích trực tiếp của một số hữu hạn nhóm con ổn định chuẩn tắc cực tiểu của G (cho $(M_n)$ là một dãy các nhóm con ổn định chuẩn tắc cực tiểu của G thuộc $\mathfrak{M}$ và sao cho $M_{n+1}$ không được chứa trong nhóm con ổn định sinh bởi hợp của $M_1, M_2, \ldots, M_n$; cho $S_k$ là nhóm con ổn định sinh bởi hợp của các $M_n$ có chỉ số $n \geq k$; chứng minh rằng $S_{k+1} = S_k$ kể từ một hạng nào đó và do đó rằng $(M_n)$ là một dãy hữu hạn; cuối cùng dùng no. 9, Mệnh đề 15).

(c) Nếu G là một nhóm không có toán tử, hãy chứng minh rằng mọi nhóm con chuẩn tắc cực tiểu M của G là tích trực tiếp của một số hữu hạn nhóm đơn đẳng cấu với nhau (cho N là một nhóm con chuẩn tắc cực tiểu của M; chứng minh rằng M là nhóm con nhỏ nhất của G chứa tất cả các nhóm con $aNa^{-1}$ khi a chạy qua G, rồi áp dụng (b) cho nhóm M).