Exercice 15, § 4

Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de sous-groupes stables d’un groupe à opérateurs G; on dit que $\mathscr{F}$ satisfait à la condition maximale (resp. condition minimale) si toute partie de $\mathscr{F}$, ordonnée par inclusion, possède un élément maximal (resp. minimal). On suppose que l’ensemble de tous les sous-groupes stables d’un groupe G satisfait à la condition minimale. a) Prouver qu’il n’existe aucun sous-groupe stable de G isomorphe à G et distinct de G (raisonner par l’absurde en montrant que l’hypothèse entraînerait l’existence d’une suite infinie strictement décroissante de sous-groupes stables de G). b) On appelle sous-groupes stables distingués minimaux les éléments minimaux de l’ensemble des sous-groupes stables distingués de G non réduits à e. Soit $\mathscr{M}$ un ensemble de sous-groupes stables distingués minimaux de G, S le plus petit sous-groupe stable de G contenant tous les sous-groupes appartenant à $\mathscr{M}$; montrer que S est produit direct d’un nombre fini de sous-groupes stables distingués minimaux de G appartenant à $\mathscr{M}$, et telle que $M_{n+1}$ ne soit pas contenu dans le sous-groupe stable engendré par la réunion de $M_1, M_2, \ldots, M_n$; soit $S_k$ le sous-groupe stable engendré par la réunion des $M_n$ d’indice $n \geq k$; montrer qu’on a $S_{k+1} = S_k$ à partir d’un certain rang, et par suite que $(M_n)$ est une suite finie; utiliser enfin, I, p. 46, prop. 15). c) Si G est un groupe sans opérateur, montrer que tout sous-groupe distingué minimal M de G est produit direct d’un nombre fini de sous-groupes, simples et isomorphes entre eux (soit N un sous-groupe distingué minimal de M; montrer que M est le plus petit sous-groupe de G contenant tous les sous-groupes $aNa^{-1}$, où $a$ parcourt G, et appliquer ensuite $b$) au groupe M).