习题 22, § 2

令$G$为群，且$B$为$G$的子群。

a) 证明以下条件是等价的： (i) 对于所有 $g \in G$，$B \cap gBg^{-1}$ 在 $B$ 中具有有限的指标； (ii) 相对于$B$的每个双陪集$BgB$都是相对于$B$的有限左陪集并。

更准确地说，证明对于所有$g \in G$，$B$中$B \cap gBg^{-1}$的指标$q_g$等于数相对于双陪集$BgB$中包含的$B$。证明 $q_{gh} \leq q_g q_h$ 对于所有 $g, h \in G$。

假设从现在起条件(i)和(ii)满足并用$k$交换环表示。对于$t \in G/B$（或$t \in B\backslash G/B$），从$G$到$k$用$a_t$映射表示，如果$g \notin t$则由$a_t(g) = 0$定义，如果$g \in t$则由$a_t(g) = 1$定义。令$L$（或$H$）为$a_t$为$t \in G/B$（或$t \in B\backslash G/B$）生成的$k$模块。

b) 表明在 $L$ 上存在唯一的线性形式 $\mu$，使得所有 $t \in G/B$ 都有 $\mu(a_t) = 1$。

c) 设$\varphi \in L$和$\psi \in H$。证明，对于所有 $x \in G$，映射

属于至$L$以及映射$\varphi * \psi : x \mapsto \mu(\theta_x)$属于至$L$。此外，如果$\varphi \in H$则$\varphi * \psi \in H$。证明映射$(\varphi, \psi) \mapsto \varphi * \psi$使$H$在$k$上变成代数，并以$a_B$作为其单位元，并使$L$成为右$H$模。

代数$H$被称为$G$相对于$H$的*Hecke代数*，并用$H_k(G, B)$表示。

d) 证明对于$t, t' \in B \backslash G / B$，

其中$m(t, t'; t'')$是关于所有$g \in t''$包含在$t \cap g {t'}^{-1}$中的$B$的陪集的数。

e) 让$G$通过左平移作用于$L$。证明这样得到的$L$上的$H$的作用、定义同构从$H$到$L$上的$G$的线性表示的交换子。

f) 假设$G$是有限的，且$k$的特性不具有$G$的除阶。证明$H_k(G, B)$绝对是半单超过$k$（代数，第VIII, § 7, no. 5章）（使用马施克定理（第V，附录）和第3章代数，第1章） VIII, § 5, no. 1).

g) 假设$G$是拓扑群，$B$是$G$的紧开子群。证明条件 (i) 和 (ii) 满足，并且当 $k = \mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ 时，乘积 $\varphi * \psi$ 只是相对于 $G$ 上的右 Haar 测度的卷积乘积，由条件 $\mu(B) = 1$ 归一化（cf.积分，第VIII, § 4, no. 5章）。