习题 16, § 21

假设K的特征为零。如果 K 的属于到子环是有限生成的 $\mathbf{Z}$ 模，或者等价地，如果 K 的子环 $\mathbf{Z}[x]$ 是有限生成的 $\mathbf{Z}$ 模，我们说 K 的元素 $x$ 在 $\mathbf{Z}$ 上是积分$*$(cf.

通讯。阿尔格.，V, §1, No. 1，第 14 页。 $303)*$。

a) 证明 K 对 $\mathbf{Z}$ 积分的元素的集合是 K 的子环（对于$x, y$ 对$\mathbf{Z}$ 的积分，考虑子环 $\mathbf{Z}[x, y]$）。

b) K 的元素$x$在$\mathbf{Z}$上积分当且仅当它是$\mathbf{Z}[X]$中的一元多项式的根（当$x$是积分时，适应VIII的引理1的证明， p. 81 表明它满足方程形式 det($xI_m-A$) = 0 和 $A\in \mathbf{M}_m(\mathbf{Z})$)。

c) 如果 $x$ 对 $\mathbf{Z}$ 是积分，那么它的共轭 $x_1, . . . , x_m$ 对 $\mathbf{Q}$ 也成立； 元素$x_1\cdots x_m$属于至$\mathbf{Z}$（使用VIII、p. 416中的引理）。