习题 16, § 14

保留习题 15 的记号，并且假设 V 在 D 上是有限维的。如果 Ω 中的交换子 $B'$ 生成为（左或右）D-向量空间，则 A 的子环 B 在 A 中称为弱伽罗瓦（分别为伽罗瓦） 半线性映射（或双射）从V到自身。用 D 和 B 生成的 Ω 的 DB 子环表示。

a) 证明如果 B 是简单弱伽罗瓦，则 V 是有限长度在 DB 上的半单模。 （令 W 为 B-模 V 的同典型组件，S 为 W 的简单 DB 子模。令 Σ 为半线性映射 $v$ 属于到 $B'$ 的集合。观察$v(S)$ 是 $v\in \Sigma$ 的 DB 模，并且由VIII、p. 56的推论3推导出，对于$v\in \Sigma .$，W包含在$v(S)$的和中）

b) 假设环 B 是简单的弱伽罗瓦，并且它在 A 中的交换子 $B'_0$ 是简单的。证明V是同型DB模（观察$B'_0$是Ω中DB的交换子，应用命题5是VIII、p. 85）。推论B是伽罗瓦。 （令$v$为Σ的非零元素，将V的$V =\bigoplus^n_{i=1}V_i$分解作为同构简单DB模块的直和，使得$W_1=v(V_1)$为非零的。观察存在简单DB模块$W_i$（对于$2\leqslant i\leqslant n$) 同构于$W_1$，使得$V =\bigoplus^n_{i=1}W_i$，并推导出半线性双射$w\in B'$，即重合，其中$v$位于$V_1$，其中$vw^{-1}$属于为$B'_0$。结论乘注意到，一个简单的环的每个元素是可逆元的和。）