Théorème 1

Soient $A$ et $B$ des $k$-algèbres et $P$ un $(A, B)_k$-bimodule. Notons $P^*$ le $(B, A)_k$-bimodule $\operatorname{Hom}_A(P, A_s)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Le $(A, B)_k$-bimodule $P$ est inversible;

(ii) Le $A$-module $P$ est projectif, de type fini et générateur, et l’application $b \mapsto b_P$ de $B$ dans $\operatorname{End}_A(P)^o$ est un isomorphisme de $k$-algèbres;

(iii) Le $B$-module à droite $P$ est projectif, de type fini et générateur et l’application $a \mapsto a_P$ de $A$ dans $\operatorname{End}_B(P)$ est un isomorphisme de $k$-algèbres.

Si ces conditions sont vérifiées, les homomorphismes

sont des isomorphismes de sorte que le $(B, A)_k$-bimodule $P^*$ est un inverse de $P$.

Si la condition (ii) est vérifiée, $P$ est un $(A, B)_k$-bimodule inversible d’inverse $P^*$ (VIII, p. 94, prop. 2 et p. 94, prop. 3). Cela démontre que (ii) implique (i) et la dernière assertion.

Supposons le $(A, B)_k$-bimodule $P$ inversible. Alors le $A$-module $P$ est générateur (VIII, p. 94, prop. 3, (iii) $\Longrightarrow$ (i)). Il est donc fidèle et équilibré (VIII, p. 78, th. 2) et, par suite, l’application $a \mapsto a_p$ de $A$ dans $\operatorname{End}_B(P)$ est bijective.

Prouvons ensuite que l’application $b \mapsto b_P$ de $B$ dans $\operatorname{End}_A(P)$ est bijective. Soit $Q$ un $(B, A)_k$-bimodule inverse de $P$. Soit $u \in \operatorname{End}_A(P)$; alors $1_Q \otimes u$ est un endomorphisme du $B$-module à gauche $Q \otimes_A P$. Comme le $(B, B)_k$-bimodule $Q \otimes_A P$ est isomorphe à ${}_s B_d$, il existe un unique élément $b$ de $B$ tel que $1_Q \otimes u$ soit l’homothétie de rapport $b$ du $B$-module à droite $Q \otimes_A P$. Par suite, on a $1_Q \otimes (u - b_P) = 0$. D’où $u = b_P$ d’après le lemme 1 ; cela prouve que l’application $b \mapsto b_P$ de $B$ dans $\operatorname{End}_A(P)$ est bijective.

D’après la prop. 2 de VIII, p. 94, le $A$-module $P$ est alors projectif de type fini. On a donc prouvé l’équivalence de (i) et (ii).

En échangeant les rôles de A et B, on obtient l’équivalence de (i) et (iii), ce qui achève la preuve de la proposition.