习题 4, § 6

设 A 和 B 为环，P 为可逆 $(A$，B)-双模。用$\mathscr{B}_A$（或$\mathscr{B}_B$）表示A（或B）的两侧理想的集合，并用$f:\mathscr{B}_A\rightarrow \mathscr{B}_B$表示命题 6（VIII，p. 105）中定义的有序集的同构。

a) 令$\mathfrak{a}$为A的理想。证明环$A/\mathfrak{a}$和$B/f(\mathfrak{a})$是森田等价的。 b) 令$\mathfrak{a}$和$\mathfrak{a}'$为A的理想。证明$f(\mathfrak{a}\mathfrak{a}') =f(\mathfrak{a})f(\mathfrak{a}')$。

c) 证明 A 的理想 $\mathfrak{a}$ 是幂零的，当且仅当 B 的理想 $f(\mathfrak{a})$ 是幂零的。 d) 设 M 为 B-模。证明M(VIII,p. 80)的迹理想在$P\otimes_BM$的迹理想的$f$下为像。