习题 8, § 14

设A为交换环，S为A-代数；假设 S 是射影、忠实且有限生成A-模。用 E 表示 A-代数 $S\otimes_AS^o$。

a) 证明以下条件等价：

(i) $(E$, A)-双模 S 是可逆的。

(ii) A-代数 S 是中心的，E 模 S 是射影的。

(iii) 典范同态 $E\longrightarrow$ End$_A(S)$ 是双射的。

(iv) 对于 A 的每个最大理想 $\mathfrak{m}$，$A/\mathfrak{m}$-代数 $S/\mathfrak{m}S$ 都是中心简单的。 （从VIII、p. 101的定理 1 推导出（i）、（ii）、（iii）的等价以及VIII、p. 100的推论2，以及从VIII的定理 1推导出（iii）、（iv）的推论， p. 252 和习题 7)。

当满足这些条件时，我们说S是A之上的Azumaya代数。

b) 如果 S 和 T 是 Azumaya 代数在 A 上，那么A-代数 $S\otimes_AT$ 也是如此。

c) 设 B 是可交换的 A-代数；如果 S 是 A 上的 Azumaya 代数，则 B 代数 $S_{(B)}$ 是 Azumaya 代数。如果 B 代数 $S_{(B)}$ 是 Azumaya 代数并且 B 是忠实且射影 $(^*$ 或忠实平坦$_*)$ A-代数，则 S 是 Azumaya A-代数（应用习题 7, d)）。