习题 10, § 9

设A为环。

a) 令 Z 为 A 的中心。证明我们有 $Z\cap \mathfrak{R}(A)\subset \mathfrak{R}(Z)$ (cf. 习题 15，b) 对于例，包含严格）。

b) 证明$\mathfrak{R}(A)$包含没有非零的幂等。

c) 证明$\mathfrak{R}(A)$的交和A的左底层$\mathfrak{s}$（VIII，p. 130，习题8）是具有平方为零的双面理想，并且它是$\mathfrak{s}$的交及其剩下湮没子（使用VIII、p. 130的习题 7和8，a）。

d) 令$e$为A中的幂等。证明环$eAe$的根式为$e\mathfrak{R}(A)e$（观察$a\in eAe$，我们有$(1-a)(1-e) = (1-e)(1-a) = 1-e$）。

e) 证明环$\mathbf{M}_n(A)$的根式是理想的$\mathbf{M}_n(\mathfrak{R}(A))$（VIII，p. 114，例2）。