Bourbaki

习题 10, § 5

标签 0625，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 0625]。

代数, III, 631

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 A 为交换环，

M′→uM→vM′′⟶0 M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \longrightarrow 0
正合序列 A-模和 nn 整数 >0> 0。令 L=Coker(Tn(u))L = \mathrm{Coker}(T^n(u)) 使得有正合序列
Tn(M′)→Tn(u)Tn(M)→L→0. T^n(M') \xrightarrow{T^n(u)} T^n(M) \to L \to 0.
对于集合 {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} 的每个子集 J，我们写
PJ=N1⊗N2⊗⋯⊗Nn,where Ni=M′ if i∈J,Ni=M if i∉J P_J = N_1 \otimes N_2 \otimes \cdots \otimes N_n,\quad \text{where } N_i = M' \text{ if } i \in J, N_i = M \text{ if } i \notin J
（P∅P_\varnothing因此等于Tn(M)T^n(M)）并且
QJ=N1⊗N2⊗⋯⊗Nn,where Ni=M′ if i∈J,Ni=M′′ if i∉J Q_J = N_1 \otimes N_2 \otimes \cdots \otimes N_n,\quad \text{where } N_i = M' \text{ if } i \in J, N_i = M'' \text{ if } i \notin J
（Q∅Q_\varnothing因此等于Tn(M′′)T^n(M'')）。对于每个整数ii，使得0≤i≤n0 \leq i \leq n，让P(i)P^{(i)}表示由PJP_J的像的并生成的Tn(M)T^n(M)的子模，对于所有子集JJ，这样Card(J)=i\mathrm{Card}(J) = i，令L(i)L^{(i)}为LL中P(i)P^{(i)}的典范像。

(a) 证明存在一个规范的满同态

⨁Card(J)=iQJ→L(i)/L(i+1) \bigoplus_{\mathrm{Card}(J)=i} Q_J \to L^{(i)}/L^{(i+1)}

（cf.II, § 5, no. 6，命题6）。

(b) 如果序列 0→M′→uM→vM′′→00 \to M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0 是精确的且分裂的，则证明 (a) 中定义的同态是双射的。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。