6. Quan hệ tương đương

Về nguyên tắc, từ nay về sau chúng ta sẽ thôi dùng các chữ in nghiêng đậm để ký hiệu các dãy ký hiệu chưa xác định; người đọc sẽ dễ dàng nhận ra từ ngữ cảnh những mệnh đề áp dụng cho các chữ hoặc các quan hệ chưa xác định.

1. Định nghĩa một quan hệ tương đương

Cho $R\{x, y\}$ là một quan hệ, $x$ và $y$ là hai chữ phân biệt. Quan hệ $R$ được gọi là đối xứng (đối với các chữ $x$ và $y$) nếu

Nếu vậy, bằng cách thay $x$ và $y$ lần lượt bằng hai chữ $x'$ và $y'$, phân biệt với nhau và với tất cả các chữ xuất hiện trong $R$, rồi thay $y$ và $x$ lần lượt cho $x'$ và $y'$, ta thấy rằng

Do đó $R\{x, y\}$ và $R\{y, x\}$ là tương đương.

¶ Cho $z$ là một chữ cái không xuất hiện trong $R$. Quan hệ $R$ được gọi là bắc cầu (đối với các chữ cái $x, y$) nếu ta có

2. Các lớp tương đương ; tập thương

Cho $f$ là một hàm, E là tập xác định của nó, F là đồ thị của nó. Quan hệ "$x \in E$ và $y \in E$ và $f(x) = f(y)$" là một quan hệ tương đương trên E, được gọi là quan hệ tương đương liên kết với f. Nó tương đương với quan hệ $(\exists z)((x, z) \in F$ and $(y, z) \in F)$, tức là với $(\exists z)((x, z) \in F$ and $(z, y) \in \overset{-1}{F})$, và do đó đồ thị của nó là $\overset{-1}{F} \circ F$.

¶ Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng mọi quan hệ tương đương $\mathrm{R}$ trên một tập hợp $\mathrm{E}$ đều thuộc kiểu này. Gọi $\mathrm{G}$ là đồ thị của $\mathrm{R}$. Với mỗi $x \in \mathrm{E}$, tập hợp (không rỗng) $\mathrm{G}(x) \subset \mathrm{E}$ được gọi là lớp tương đương của $x$ đối với $\mathrm{R}$; do đó nó là tập hợp của mọi $y \in \mathrm{E}$ sao cho $\mathrm{R}\{x, y\}$. Mọi tập hợp có thể viết dưới dạng $\mathrm{G}(x)$ với một $x \in \mathrm{E}$ nào đó được gọi là một lớp tương đương (đối với $\mathrm{R}$). Một phần tử của một lớp tương đương được gọi là một đại diện của lớp này. Tập hợp các lớp tương đương đối với $\mathrm{R}$ (nghĩa là, tập hợp của mọi đối tượng có dạng $\mathrm{G}(x)$ với một $x \in \mathrm{E}$ nào đó) được gọi là tập thương của $\mathrm{E}$ theo $\mathrm{R}$ và được ký hiệu là $\mathrm{E}/\mathrm{R}$. Ánh xạ $x \to \mathrm{G}(x)$ $(x \in \mathrm{E})$ có miền là $\mathrm{E}$ và có đích là $\mathrm{E}/\mathrm{R}$ được gọi là ánh xạ chính tắc của $\mathrm{E}$ lên $\mathrm{E}/\mathrm{R}$.

C55. Cho $\mathrm{R}$ là một quan hệ tương đương trên một tập hợp $\mathrm{E}$, và gọi $p$ là ánh xạ chính tắc từ $\mathrm{E}$ lên $\mathrm{E}/\mathrm{R}$. Khi đó

Với ký hiệu ở trên, cho $x$ và $y$ là các phần tử của $\mathrm{E}$ sao cho

Khi đó $x \in \mathrm{E}$ và $y \in \mathrm{E}$; hãy chỉ ra rằng $\mathrm{G}(x) = \mathrm{G}(y)$. Vì $y \in \mathrm{G}(x)$, ta có (Mệnh đề 1) $\mathrm{G}(y) \subset (\mathrm{G} \circ \mathrm{G})(x) = \mathrm{G}(x)$. Mặt khác, ta cũng có $(y, x) \in \mathrm{G}$, do đó $\mathrm{G}(x) \subset \mathrm{G}(y)$ và vì vậy

tức là, $p(x) = p(y)$. Ngược lại, nếu $\mathrm{G}(x) = \mathrm{G}(y)$, ta có $y \in \mathrm{G}(y) = \mathrm{G}(x)$, nên $(x, y) \in \mathrm{G}$. Điều này hoàn tất chứng minh.

¶ Một tiết diện của ánh xạ chính tắc $p$ từ $\mathrm{E}$ lên $\mathrm{E}/\mathrm{R}$ (§ 3, no. 8, Định nghĩa 11) được gọi gọn hơn là một tiết diện của $\mathrm{E}$ (đối với quan hệ $\mathrm{R}$).

Ví dụ

3. Các quan hệ tương thích với một quan hệ tương đương

Cho $\mathrm{R}\{x,\ x'\}$ là một quan hệ tương đương và cho $\mathrm{P}\{x\}$ là một quan hệ. Quan hệ $\mathrm{P}\{x\}$ được gọi là tương thích với quan hệ tương đương $\mathrm{R}\{x,\ x'\}$ (đối với $x$) nếu ta có

trong đó $y$ ký hiệu một chữ cái không xuất hiện trong cả P lẫn R.

Ví dụ, suy ra từ C43 (chương I, §5), no. 1) rằng mọi quan hệ $\mathrm{P}\{x\}$ đều tương thích với quan hệ tương đương $x = x'$.

C56. Cho $\mathrm{R}\{x,\ x'\}$ là một quan hệ tương đương trên một tập hợp E, và cho $\mathrm{P}\{x\}$ là một quan hệ không chứa chữ cái $x'$ và tương thích (đối với $x$*) với quan hệ tương đương* $\mathrm{R}\{x,\ x'\}$. Khi đó, nếu $t$ không xuất hiện trong $\mathrm{P}\{x\}$, thì quan hệ "$t \in \mathrm{E}/\mathrm{R}$ và $(\exists x)(x \in t$ và $\mathrm{P}\{x\})$*" tương đương với quan hệ "*$t \in \mathrm{E}/\mathrm{R}$ và $(\forall x)((x \in t) \Rightarrow \mathrm{P}\{x\})$*".*

Cho $t \in \mathrm{E}/\mathrm{R}$. Nếu tồn tại $a \in t$ sao cho $\mathrm{P}\{a\}$, thì với mỗi $x \in t$ ta có $\mathrm{R}\{a,\ x\}$ và do đó $\mathrm{P}\{x\}$. Vì thế $(\exists x)(x \in t$ và $\mathrm{P}\{x\})$ kéo theo $(\forall x)((x \in t) \Rightarrow \mathrm{P}\{x\})$. Mệnh đề đảo lại là hiển nhiên vì $t \in \mathrm{E}/\mathrm{R}$ kéo theo $t \neq \emptyset$.

¶ Quan hệ

được gọi là cảm sinh bởi $P\{x\}$ khi chuyển qua thương (đối với $x$) theo R. Nếu quan hệ này được ký hiệu bởi $P'\{t\}$, và nếu $f$ là ánh xạ chính tắc từ E lên E/R, thì quan hệ

(trong đó $y$ không xuất hiện trong $P\{x\}$) tương đương với ( $y \in E$ và $P\{y\}$), như kiểm tra ngay lập tức được.

4. Các tập con bão hòa

Cho $R\{x, y\}$ là một quan hệ tương đương trên một tập hợp E, và A là một tập con của E. A được gọi là bão hòa đối với R nếu quan hệ $x \in A$ là tương thích (đối với $x$) với $R\{x, y\}$; hoặc, tương đương, nếu với mỗi $x \in A$, lớp tương đương của $x$ được chứa trong A. Nói cách khác, một tập hợp là bão hòa đối với R khi và chỉ khi nó là hợp của một tập hợp các lớp tương đương đối với R.

¶ Cho $f$ là ánh xạ chính tắc của E lên E/R. Nếu A bão hòa đối với R, thì lớp tương đương của mỗi $x \in A$, lớp này bằng $\overset{-1}{f}\langle\{f(x)\}\rangle$, được chứa trong A, và do đó $\overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle \subset A$; vì trong mọi trường hợp ta đều có $A \subset \overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle$, suy ra $\overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle = A$. Ngược lại, nếu $A = \overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle$, thì với mọi $x \in A$ lớp tương đương $K = f(x)$ của $x$ đối với R là một phần tử của $f\langle A\rangle$; và vì $K = \overset{-1}{f}\langle\{K\}\rangle$, ta có $K \subset \overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle = A$. Vậy các tập con của E bão hòa đối với R chính xác là các tập con A của E sao cho $A = \overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle$. Tương đương, đó là các tập con của E có dạng $\overset{-1}{f}\langle B\rangle$, trong đó $B \subset E/R$; vì quan hệ $A = \overset{-1}{f}\langle B\rangle$ suy ra $B = f\langle A\rangle$, do đó $A = \overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle$.

¶ Nếu $(X_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các tập con bão hòa của E, thì các tập hợp $\bigcup_{\iota \in I} X_\iota$ và $\bigcap_{\iota \in I} X_\iota$ là bão hòa (§4, Mệnh đề 3 và 4). Nếu A là một tập con bão hòa của E, thì $\complement_E A$ cũng vậy (§4, Mệnh đề 6).

¶ Bây giờ cho A là một tập con tùy ý của E. Khi đó tập hợp $\overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle$ chứa A và là bão hòa. Ngược lại, nếu A′ là một tập con bão hòa của E chứa A, thì ta có $f\langle A'\rangle \supset f\langle A\rangle$, nên

Vì thế ta có thể nói rằng $\overset{-1}{f}\langle f\langle A\rangle\rangle$ là tập con bão hòa "nhỏ nhất" của E chứa A (x. Chương III); tập hợp này được gọi là bão hòa của A đối với quan hệ R. Ngay lập tức thấy rằng bão hòa của A là hợp của các lớp tương đương của các phần tử của A. Nếu $(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ là một họ các tập con của E và nếu $\mathrm{A}_\iota$ là bão hòa của $\mathrm{X}_\iota$ đối với R, thì bão hòa của $\bigcup_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota$ là $\bigcup_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{A}_\iota$ (§4, Mệnh đề 3).

5. Các ánh xạ tương thích với các quan hệ tương đương

Cho R là một quan hệ tương đương trên một tập hợp E, và cho $f$ là một hàm có miền xác định là E. Khi đó người ta nói rằng $f$ là tương thích với quan hệ R nếu quan hệ $y = f(x)$ là tương thích (đối với $x$) với quan hệ $\mathrm{R}\{x,\ x'\}$.

¶ Điều này tương đương với việc nói rằng hạn chế của $f$ trên mỗi lớp tương đương là một ánh xạ hằng, trong trường hợp đó ta nói rằng $f$ là hằng trên mỗi lớp tương đương đối với R. Nếu $g$ là ánh xạ chính tắc từ E lên E/R, thì một mệnh đề tương đương là quan hệ $g(x) = g(x')$ kéo theo $f(x) = f(x')$; do đó (§3, Mệnh đề 9) ta có tiêu chuẩn sau:

C57. Cho R là một quan hệ tương đương trên một tập hợp E, và cho g là ánh xạ chính tắc từ E lên E/R. Khi đó một ánh xạ f từ E vào F là tương thích với R khi và chỉ khi f có thể được viết dưới dạng h $\circ$ g, trong đó h là một ánh xạ từ E/R vào F. Ánh xạ h được xác định duy nhất bởi f; nếu s là một tiết diện bất kỳ của g, ta có h $= f \circ s$.

Ánh xạ $h$ được gọi là cảm sinh bởi f khi chuyển qua thương đối với R.

¶ Cho $f$ là một ánh xạ từ một tập hợp E vào một tập hợp F, và đặt $\mathrm{A} = f\langle \mathrm{E}\rangle \subset \mathrm{F}$. Cho R là quan hệ tương đương liên kết với $f$ (no. 2); hiển nhiên $f$ tương thích với R. Hơn nữa, ánh xạ $h$ cảm sinh bởi $f$ khi chuyển qua thương là một đơn ánh từ E/R vào F : vì nếu $t$, $t'$ là các lớp tương đương đối với R sao cho $h(t) = h(t')$, thì ta có $f(x) = f(x')$ với mọi $x \in t$ và $x' \in t'$, điều này suy ra $t = t'$ theo định nghĩa của R. Cho $k$ là ánh xạ từ E/R lên A có cùng đồ thị với $h$; khi đó $k$ là song ánh. Nếu $j$ là đơn ánh chính tắc từ A vào F và nếu $g$ là ánh xạ chính tắc từ E lên E/R, thì ta có thể viết

Quan hệ này được gọi là phân tích chính tắc của f.

¶ Cho $f$ là một ánh xạ từ một tập hợp E vào một tập hợp F, cho R là một quan hệ tương đương trên E, và cho S là một quan hệ tương đương trên F. Cho $u$ là ánh xạ chính tắc từ E lên E/R, và cho $v$ là ánh xạ chính tắc từ $F$ lên $F/S$. Ánh xạ $f$ được gọi là tương thích với các quan hệ tương đương $R$ và $S$ nếu $v\mathbin{\circ}f$ tương thích với $R$; điều đó có nghĩa là quan hệ $x\equiv x'$ (mod $R$) kéo theo $f(x)\equiv f(x')$ (mod $S$). Khi đó, ánh xạ $h$ từ $E/R$ vào $F/S$ được cảm sinh bởi $v\mathbin{\circ}f$ khi chuyển qua thương theo $R$ được gọi là ánh xạ cảm sinh bởi $f$ khi chuyển qua các thương theo $R$ và $S$; nó được đặc trưng bởi hệ thức $v\mathbin{\circ}f=h\mathbin{\circ}u$.

6. Ảnh ngược của một quan hệ tương đương; quan hệ tương đương cảm sinh

Cho $\varphi$ là một ánh xạ của một tập hợp $E$ vào một tập hợp $F$, và cho $S$ là một quan hệ tương đương trên $F$. Nếu $u$ là ánh xạ chính tắc của $F$ lên $F/S$, thì quan hệ tương đương liên kết với ánh xạ $u\mathbin{\circ}\varphi$ của $E$ vào $F/S$ được gọi là ảnh ngược của $S$ theo $\varphi$; nếu $R$ là quan hệ này, thì $R\{x,y\}$ tương đương với $S\{\varphi(x),\varphi(y)\}$, và các lớp tương đương đối với $R$ là các ảnh ngược theo $\varphi$ của các lớp tương đương đối với $S$ có giao với $\varphi\langle E\rangle$.

¶ Đặc biệt, xét một quan hệ tương đương $R$ trên một tập hợp $E$, và cho $A$ là một tập con của $E$; khi đó ảnh ngược của $R$ dưới đơn ánh $j$ từ $A$ vào $E$ được gọi là quan hệ tương đương cảm sinh bởi $R$ trên $A$, và được ký hiệu bởi $R_A$.

¶ Các lớp tương đương đối với $R_A$ là các vết trên $A$ của các lớp tương đương đối với $R$ mà cắt $A$. Phép đơn ánh $j$ hiển nhiên tương thích với các quan hệ $R_A$ và $R$; ánh xạ $h$ từ $A/R_A$ vào $E/R$ được cảm sinh bởi $j$ khi chuyển qua thương đối với $R_A$ và $R$ là một ánh xạ đơn ánh từ $A/R_A$ vào $E/R$: vì nếu $f$ (tương ứng $g$) là ánh xạ chính tắc từ $E$ lên $E/R$ (tương ứng từ $A$ lên $A/R_A$), thì quan hệ $h(g(x))=h(g(x'))$, trong đó $x\in A$ và $x'\in A$, là tương đương với $f(x)=f(x')$ và do đó với $g(x)=g(x')$. Ảnh $h\langle A/R_A\rangle$ bằng $f\langle A\rangle$. Nếu $k$ là ánh xạ song ánh từ $A/R_A$ lên $f\langle A\rangle$ có cùng đồ thị như $h$, thì $k$ và ánh xạ nghịch đảo của nó được gọi là chính tắc.

7. Thương của các quan hệ tương đương

Cho $R$, $S$ là hai quan hệ tương đương đối với hai chữ $x$, $y$. Ta sẽ nói rằng $S$ mịn hơn $R$ (hoặc rằng $R$ thô hơn $S$) nếu quan hệ $S\Rightarrow R$ là đúng. Nếu $R$ và $S$ là các quan hệ tương đương trên cùng một tập hợp $E$, mệnh đề nói rằng $S$ mịn hơn $R$ có nghĩa là đồ thị của $S$ được chứa trong đồ thị của $R$, hay cũng là mọi lớp tương đương đối với $S$ đều được chứa trong một lớp tương đương đối với $R$; hoặc, tương đương, mọi lớp tương đương đối với $R$ đều bão hòa đối với $S$.

Ví dụ

8. Tích của hai quan hệ tương đương

Cho $R\{x, y\}$ và $R'\{x', y'\}$ là hai quan hệ tương đương. Gọi $S\{u, v\}$ là quan hệ

ngay lập tức kiểm tra được rằng $S\{u, v\}$ là một quan hệ tương đương, gọi là tích của R và R', và được ký hiệu bởi $R \times R'$. Giả sử rằng R là một quan hệ tương đương trên một tập hợp E và rằng R' là một quan hệ tương đương trên một tập hợp E'. Khi đó quan hệ $S\{u, u\}$ tương đương với

tức là với $(\exists x)(\exists x')(u = (x, x')$ và $x \in E$ và $x' \in E')$, do đó với $u \in E \times E'$. Suy ra rằng $R \times R'$ là một quan hệ tương đương trên $E \times E'$. Nếu

là một phần tử của $E \times E'$, thì quan hệ $S\{u, v\}$ tương đương với

nếu $G$ và $G'$ lần lượt là các đồ thị của $R$ và $R'$, thì quan hệ này đến lượt nó lại tương đương với $v \in G(x) \times G(x')$. Do đó mọi lớp tương đương đối với $R \times R'$ đều là tích của một lớp tương đương đối với $R$ và một lớp tương đương đối với $R'$, và ngược lại.

¶ Cho $f$ và $f'$ là các ánh xạ chính tắc từ $E$ lên $E/R$ và từ $E'$ lên $E'/R'$, tương ứng, và gọi $f \times f'$ là phép mở rộng chính tắc của $f$ và $f'$ lên các tập hợp tích (§ 3, no. 9). Khi đó $(f \times f')(x, x') = (f(x), f'(x'))$ với mọi $(x, x') \in E \times E'$. Ảnh ngược theo $f \times f'$ của một phần tử $(u, u')$ của $(E/R) \times (E'/R')$ chính là tích $u \times u'$ của lớp tương đương $u$ đối với $R$ và lớp tương đương $u'$ đối với $R'$. Suy ra rằng quan hệ tương đương liên kết với $f \times f'$ là tương đương với $R \times R'$. Do đó ánh xạ $f \times f'$ có thể được viết thành $h \circ g$, trong đó $g$ là ánh xạ chính tắc từ $E \times E'$ lên

và $h$ là một ánh xạ một-một từ $(E \times E')/(R \times R')$ lên

ánh xạ $h$ này và ánh xạ nghịch đảo của nó được gọi là chính tắc.

9. Các lớp đối tượng tương đương

Cho $R\{x, y\}$ là một quan hệ tương đương, mà không nhất thiết có đồ thị. Hiển nhiên rằng nếu $x$, $x'$, $y$ là ba chữ phân biệt, thì quan hệ $R\{x, x'\}$ kéo theo "$R\{x, y\} \Longleftrightarrow R\{x', y\}$" và do đó cũng kéo theo quan hệ $(\forall y)(R\{x, y\} \Longleftrightarrow R\{x', y\})$. Theo lược đồ S7 (Chương I, § 5, no. 1), nếu ta đặt $\theta\{x\} = \tau_y(R\{x, y\})$, thì quan hệ $R\{x, x'\}$ kéo theo

Mặt khác, chú ý rằng theo định nghĩa $R\{x, \theta\{x\}\}$ là quan hệ $(\exists y)(R\{x, y\})$ và do đó (no. 1) tương đương với $R\{x, x\}$. Suy ra rằng quan hệ $(R\{x, x\}$ và $R\{x', x'\}$ và $\theta\{x\} = \theta\{x'\})$ là tương đương với $R\{x, x'\}$, vì theo S6 (Chương I, §5, no. 1) nó kéo theo quan hệ

do đó cũng kéo theo $(R\{x, \theta\{x\}\}$ và $R\{x', \theta\{x\}\})$, và sau cùng kéo theo $R\{x, x'\}$ theo tính bắc cầu và tính đối xứng. Và vì ngược lại $R\{x, x'\}$ kéo theo $R\{x, x\}$ và $R\{x', x'\}$, mệnh đề được chứng minh. Số hạng $\theta\{x\}$ được gọi là lớp các đối tượng tương đương với x (đối với quan hệ R).

¶ Bây giờ giả sử rằng T là một số hạng sao cho quan hệ

(1)

là đúng. Khi đó quan hệ $(\exists x)(R\{x, x\}$ and $z = \theta\{x\})$ là xác định tập theo z. Thật vậy, ta có thể giả sử rằng $x \in T$ kéo theo $R\{x, x\}$; chỉ cần thay thế T bằng tập hợp mọi $x \in T$ sao cho $R\{x, x\}$ (nhận thấy rằng $R\{x, y\}$ kéo theo $R\{x, x\}$). Gọi $\Theta$ là tập hợp mọi đối tượng có dạng $\theta\{x\}$ với $x \in T$ (§1, no. 6). Giả sử rằng $R\{y, y\}$ là đúng; khi đó tồn tại $x \in T$ sao cho $R\{x, y\}$ và do đó $\theta\{y\} = \theta\{x\} \in \Theta$. Tập hợp $\Theta$ được gọi là tập hợp các lớp đối tượng tương đương đối với R; và với mỗi $x$ sao cho $R\{x, x\}$, $\theta\{x\}$ là phần tử duy nhất $z \in \Theta$ sao cho $R\{x, z\}$.

Dưới cùng giả thiết, cho $A\{x\}$ là một số hạng sao cho $R\{x, y\}$ suy ra $A\{x\} = A\{y\}$. Khi đó quan hệ $(\exists x)(R\{x, x\}$ and $z = \{x\})$ xác định tập theo $z$, vì $R\{x, x\}$, tương đương với $R\{x, \theta\{x\}\}$, suy ra $A\{x\} = A\{\theta\{x\}\}$, và do đó nếu E là tập hợp các đối tượng có dạng $A\{t\}$ với $t \in \Theta$, thì $R\{x, x\}$ suy ra $A\{x\} \in E$. Nếu $f$ là hàm $t \to A\{t\}$ $(t \in \Theta, A\{t\} \in E)$, thì quan hệ $R\{x, x\}$ suy ra $A\{x\} = f(\theta\{x\})$.

Đặc biệt, nếu R là một quan hệ tương đương trên một tập hợp F, ta có thể lấy $A\{x\}$ là lớp tương đương của x đối với R (no. 2), và khi đó hàm $f$ là một song ánh từ $\Theta$ lên tập thương F/R; điều này biện minh cho thuật ngữ đã đưa vào.

\* Ví dụ. Cho $R\{x, y\}$ là quan hệ tương đương "$x$ và $y$ là hai không gian vectơ có cùng số chiều hữu hạn trên $\mathbf{C}$"; quan hệ này không có đồ thị. Nó thỏa mãn điều kiện (1) khi T là tập hợp tất cả các không gian con vectơ của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$, hoặc khi tập con T' của T gồm các không gian $\mathbf{C}^n$ $(n \in \mathbf{N})$ với các quy ước rằng $\mathbf{C}^0$ gồm điểm 0 của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ và rằng $\mathbf{C}^n$ $(n > 0)$ là tổng của $n$ thành phần đầu tiên của tổng trực tiếp $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$. Với lựa chọn thứ hai này, ta có $\Theta = T'$.\*

Bài tập

Xem bài tập cho § 6.