习题 21, § 6

a) 令 $\mathfrak{T}$ 为划分环 $K$ 上的局部有界 Hausdorff 拓扑，$K$ 与之相连。证明 $K$ 中存在非零拓扑幂零元 [习题 9 a)]。 （如果$U$是$o$的对称有界邻域，并且$t$是$K$的非零元素，使得$Ut + tU \subset U$，则证明$K$是集合的并 $Ut^{-n}$，使用§ 2, no. 2中的命题 6）。

b) 令 $\mathfrak{T}$ 为$K$ 上的局部有界 Hausdorff 拓扑，相对于$K$ 具有非零拓扑幂零元。证明 $o$ 存在邻域 $U$，使得对于 $o$ 的每个邻域 $V$，存在整数 $n_0$，使得每当 $n \geq n_0$ 时就有 $U^n \subset V$；这意味着$U$的所有元素都是拓扑幂零的，并且$K$的每个点相对于$\mathfrak{T}$都有一个邻域的可数基本系统。 （令$t \neq o$拓扑幂零，并令$W$为$o$的有界邻域；取$U$为$o$的有界邻域，使得$UW \subset Wt$。）集合因此，相对于$\mathfrak{T}$，$K$的拓扑幂零元的$T$是$o$的邻域。