Bài tập 21, § 6

a) Cho $\mathfrak{T}$ là một tôpô Hausdorff địa phương bị chặn trên một vành chia $K$, theo đó $K$ là liên thông. Hãy chỉ ra rằng có các phần tử lũy linh tôpô khác không [Bài tập 9 a)] trong $K$. (Nếu $U$ là một lân cận bị chặn đối xứng của $o$, và $t$ là một phần tử khác không của $K$ sao cho $Ut + tU \subset U$, hãy chỉ ra rằng $K$ là hợp của các tập hợp $Ut^{-n}$, bằng cách sử dụng Mệnh đề 6 của § 2, no. 2).

b) Cho $\mathfrak{T}$ là một tôpô Hausdorff địa phương bị chặn trên $K$, theo đó $K$ có các phần tử lũy linh tôpô khác không. Hãy chỉ ra rằng có một lân cận $U$ của $o$ sao cho, với mỗi lân cận $V$ của $o$, có một số nguyên $n_0$ sao cho $U^n \subset V$ bất cứ khi nào $n \geq n_0$; điều này kéo theo rằng tất cả các phần tử của $U$ đều là lũy linh tôpô và rằng mỗi điểm của $K$ có một hệ cơ bản đếm được các lân cận đối với $\mathfrak{T}$. (Cho $t \neq o$ là lũy linh tôpô và cho $W$ là một lân cận bị chặn của $o$; lấy $U$ là một lân cận bị chặn của $o$ sao cho $UW \subset Wt$.) Tập hợp $T$ các phần tử lũy linh tôpô của $K$ do đó là một lân cận của $o$ đối với $\mathfrak{T}$.