Exercice 21, § 6

a) Soit $\mathscr{T}$ une topologie séparée localement bornée sur un corps K, pour laquelle K soit connexe. Montrer qu’il existe dans K des éléments topologiquement nilpotents (III, p. 80, exerc. 9 a)) non nuls. (Si U est un voisinage symétrique borné de 0, et t un élément $\neq 0$ tel que $Ut + Ut \subset U$, montrer que K est la réunion des $Ut^{-n}$, en utilisant la prop. 6 de III, p. 8).

b) Soit $\mathscr{T}$ une topologie séparée localement bornée sur K, pour laquelle il existe des éléments $\neq 0$ topologiquement nilpotents. Montrer qu’il existe un voisinage U de 0 tel que pour tout voisinage V de 0, il existe un entier $n_0$ tel que $U^n \subset V$ pour $n \geq n_0$, ce qui entraîne que tous les éléments de U sont topologiquement nilpotents et que tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages pour $\mathscr{T}$. (Soient $t \neq 0$ un élément topologiquement nilpotent, W un voisinage borné de 0 ; prendre pour U un voisinage borné de 0 tel que UW $\subset Wt$). L’ensemble T des éléments topologiquement nilpotents de K est donc un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}$.