习题 3, § 5

设A为诺特整环，K为K（习题1）上的分数、$\mathscr{T}_u$拓扑$\mathscr{T}_u(A)$和$\mathscr{T}_K$相应的拓扑的域。

(a) 如果 A 是带有 Jacobson 根式 $r \neq 0$ 的 Zariski 环，并且 A 是由 r-adic 拓扑完成的，则表明 A 是由拓扑 $\mathscr{T}_u$ 完成的（*一般拓扑*，章 III, § 3, no. 5，推出 2 至命题9)。

(b) 假设$\mathscr{T}_K$不是离散的，并且由K上的评估$v$定义。证明$v$是离散评估，并且A是环V的$v$的开放子环；获得逆命题。 （使用假设，这意味着A$\neq K$，以及§ 4, no. 1的命题 1，我们可以假设A$\subset V$。利用A在$\mathscr{T}_K$下开的事实，证明V是有限生成A-模和利用得出 § 3, no. 5, 命题 9. 对于逆命题，观察 A 为局部环，其中最大理想 m 和 (0) 是唯一的素理想，因此其中每个理想 $a \neq 0$ 都是 m 初等理想。那么 A 的积分闭包就是 V。给出例，其中 A $\neq V$（取 V 为正式幂级数 $k[[T]]$ 的环，其中 $k$ 为域）。

(c) 推导非离散完全拓扑域的例，其拓扑不是局部逆行的（使用(b)和习题2）。