Bài tập 3, § 5

Cho A là một miền nguyên Noether, K là trường các phân thức của nó, $\mathscr{T}_u$ là tôpô $\mathscr{T}_u(A)$ và $\mathscr{T}_K$ là tôpô tương ứng trên K (Bài tập 1).

(a) Nếu A là một vành Zariski với căn Jacobson $r \neq 0$ và A đầy đủ với tôpô r-adic, hãy chứng minh rằng A đầy đủ với tôpô $\mathscr{T}_u$ (General Topology, Chương III, § 3, no. 5, Hệ quả 2 của Mệnh đề 9).

(b) Giả sử rằng $\mathscr{T}_K$ không rời rạc và được xác định bởi một định giá $v$ trên K. Hãy chứng minh rằng $v$ là một định giá rời rạc và A là một vành con mở của vành V của $v$; hãy thu được đảo lại. (Sử dụng giả thiết, giả thiết này suy ra A $\neq K$, và Mệnh đề 1 của § 4, no. 1, ta có thể giả sử rằng A $\subset V$. Sử dụng sự kiện rằng A là mở đối với $\mathscr{T}_K$, hãy chứng minh rằng V là một A-môđun sinh hữu hạn và kết luận bằng cách sử dụng § 3, no. 5, Mệnh đề 9. Đối với đảo lại, nhận xét rằng A là một vành địa phương mà iđêan cực đại m và (0) là các iđêan nguyên tố duy nhất và trong đó mọi iđêan $a \neq 0$ do đó đều là m-nguyên sơ). Bao đóng nguyên của A khi đó là V. Hãy cho một ví dụ trong đó A $\neq V$ (lấy V là một vành chuỗi lũy thừa hình thức $k[[T]]$, trong đó $k$ là một trường).

(c) Suy ra một ví dụ về một trường tôpô đầy đủ không rời rạc mà tôpô của nó không địa phương bị chặn hồi quy (sử dụng (b) và Bài tập 2).