Exercice 3, § 5

Soient $A$ un anneau noethérien intègre, $K$ son corps des fractions, $\mathscr{T}_u$ la topologie $\mathscr{T}_u(A)$ sur $A$, $\mathscr{T}_K$ la topologie correspondante sur $K$ (exerc. 1).

a) Si $A$ est un anneau de Zariski de radical $r \neq 0$ et si $A$ est complet pour la topologie $r$-adique, montrer que $A$ est complet pour la topologie $\mathscr{T}_u$ (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 3, no 5, cor. 2 de la prop. 9).

b) On suppose que $\mathscr{T}_K$ est non discrète et est définie par une valuation $v$ de $K$. Montrer alors que $v$ est une valuation discrète et que $A$ est un sous-anneau ouvert de l’anneau $V$ de $v$; réciproque. (En utilisant l’hypothèse, qui entraîne $A \neq K$, et la prop. 1 du § 4, no 1, on peut supposer que $A \subset V$. En utilisant le fait que $A$ est ouvert pour $\mathscr{T}_K$, montrer que $V$ est un $A$-module de type fini et conclure à l’aide du § 3, no 5, prop. 9. Pour la réciproque, on observera que $A$ est un anneau local dont l’idéal maximal $m$ et $(0)$ sont les seuls idéaux premiers, et dans lequel tout idéal $a \neq 0$ est par suite $m$-primaire). La clôture intégrale de $A$ est alors $V$. Donner un exemple où $A \neq V$ (prendre pour $V$ un anneau de séries formelles $k[[T]]$, où $k$ est un corps).

c) En déduire un exemple de corps topologique complet non discret, dont la topologie n’est pas localement rétrobornée (utiliser b) et l’exerc. 2).