习题 13, § 1

令$A$为整环且$(p_i)_{i \in I}$为非零元素族，使得主理想$Ap_i$为素数；令 $S$ 为由 $p_i$ 生成的乘法子集。

(a) 证明$A = S^{-1}A \cap (\bigcap_i A_{Ap_i})$。

(b) 假设$A$的每个非空主理想族都有极大元素。证明每个环 $A_{Ap_i}$ 都是一个离散估值环 (cf. 章 VI, § 3, no. 5, 命题 9)。推出，如果$S^{-1}A$是整体闭（或完全整体闭），则$A$是整体闭（或完全整体闭）。如果 $S^{-1}A$ 是 Krull 域，则证明 $A$ 是 Krull 域。