这是从§ 6, no. 1、命题 1、§ 5, no. 1、命题 2 以及积分、章 VII, § 1, no. 10、命题 12 和 13 得出的。

局部紧致域 $K$ 的中心 $Z$ 在 $K$ 中闭合，因此局部紧致。

一般来说，已知在有限维$n$的（左或右）向量空间超过$K$时，位似与比率$x \in K$的模数等于$(\mathrm{mod}_K(x))^n$；将其应用于$K'$就足够了。

我们将使用以下引理：

到$n$的归纳，$n = 1$减少为证明引理。然后

第二个因子是$p$项的和，与一个另一个模全等。 $m$ 并且，由于 $A/m$ 具有 $p$ 的特征，$p \cdot 1 \in m$ 在 $A$ 中，因此

从而$x^p - y^p \in m^{j+1}$。

我们知道乘法群$(A/m)^*$是一个循环群，其中$q - 1$元素（*代数*，章V, § 11, no. 1，定理1）；设$x$为该群的生成元中的$A$的代表；那么$x^q - x \in m$，从而，乘以引理 1，$x^{q^{n+1}} - x^{q^n} \in m^{1+fn}$，因为$x^q$和$x$是可置换的。这就证明$(x^{q^n})_{n \geq 0}$是$A$中的柯西序列；由于$A$是紧致的，因此是完备的，因此序列在$A$中有极限，这显然满足$s \equiv x \pmod{m}$和$s^q = s$。因为$s \neq 0$、$s^{q-1} = 1$，更准确地说，$s$是$A$中单位元*的*原始*$(q-1)$*-第根。显然$0$和幂$s^j \ (0 \leq j \leq q-2)$的集合$S$由……组成是$A$模类的代表*系统。 $m$ 并且在 $A$ 中的乘法下是*不变*。

现在让 $a$ 为 $v$ 的均匀化器，并考虑 $K$ 的内自同构 $y \mapsto a^{-1}ya$；它对自身映射 $A$，对自身 $m$，因此，取商，它对域 $A/m$ 定义自同构；已知(代数,章V, § 11, no. 4,命题5)这样的自同构是形式$z \mapsto z^{p^r}$，其中$0 \leq r \leq f-1$。然后$a^{-1}s^j a \equiv s^{jp^r} \pmod{m}$换$0 \leq j \leq q-2$；如$a \in m$和$s \notin m$，这意味着$s^{-j}as^{jp^r} \equiv a \pmod{m^2}$。

让我们写

然后从 $p . 1 \in m$ 开始$u \equiv (q - l) a \equiv -a (\text{mod. } m^2)$；我们结论认为$u$也是$v$的均匀化器；而且 (3)

最后，对于所有$x \in A$，存在唯一的序列$(s_i)$（$i \in \mathbf{N}$），使得对于所有$i$有$s_i \in S$，对于所有$n \geq 0$有$x \equiv \sum s_i u^i$（mod.$m^{n+1}$）：它是直接的除以归纳 $n$，$m^{n+1}$ 满足关系形式 $t \equiv t' u^{n+1}$（模$m^{n+2}$）的每个元素 $t$，其中 $t'$ 是唯一确定的元素 $S$。然后$x = \sum_{i=0}^{\infty} s_i u^i$和家庭$(s_i)$满足这个关系，这样所有$i$的$s_i \in S$都是唯一确定的。

(i) 如果 K 具有特征 0 且 mod，不是超量绝对值值，则 K 同构于域 $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ 或 $\mathbf{H}$ 之一。

(ii) 如果 K 的特征为 0 且 mod，则为超量绝对值值，则 K 是 p 进数域 $\mathbf{Q}_p$ 上的代数有限秩。

(iii) 如果 K 具有特征 $p \neq 0$，则它与域与形式幂级数 $\mathbf{F}_q((T))$ 的中心域同构（其中 $q$ 是 $p$ 的幂）且超过有限秩它中心.

(i) 从 Ostrowski 的定理 (§ 6, no. 4, 定理 2) 可以得出，K 是一个拓扑域同构于 $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ 或 $\mathbf{H}$ 的处处稠密子域，并且，由于 K 是完备的，它同构于 $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ 或$\mathbf{H}$。

(ii) 设 A 为绝对值 mod 的环，m 为其最大理想值。我们知道 A/m 是有限域 (§ 5, no. 1, 命题 2)，因此由 mod 引起的绝对值，在 $\mathbf{Q}$ 上有一个有限的剩余类域，只有当它等价于 $p$-adic 绝对值 ($§ 6$, no. 3、命题 4)；因此，$K$中$\mathbf{Q}$的闭包与$\mathbf{Q}_p$同构的，并且包含在$K$的中心中，因为后者在$K$中闭包；我们利用得出命题 2 / no. 1。

(iii) 第二个断言由第一个断言得出，推论为no. 2的命题2。 To show the first assertion, note that mod, is necessarily an ultrametric absolute value ($§ 6$, no. 2, Corollary to Proposition 3); in the notation of the proof of Proposition 3 of no. 2, the centre $Z$ of $K$ consists of the elements which commute with both $s$ and $u$; but by virtue of (3),

因此 $u^q \in Z$ 和结论 $Z$ 不是离散的。 由于$Z$是局部紧致的，我们可以将注意力集中在$K$是可交换的情况。 $K$中的子$\mathbf{F}_p$代数$\mathbf{F}_p[s]$则从$s^{q-1} = 1$开始是有限域，并且显然对于这个域的每个元素是$y^q = y$，因此它与$S$相同并且同构于$\mathbf{F}_q$，因为$S \subset \mathbf{F}_p[s]$有$q$元素。 Since the sum of two elements of $S$ is in $S$, the mapping which maps each formal power series $\sum_{i=0}^\infty s_i T^i \in \mathbf{F}_q[[T]]$ to the element $\sum_{i=0}^\infty s_i u^i$ is a bijective homomorphism of the ring $\mathbf{F}_q[[T]]$ onto the ring $A$, whence immediately the conclusion.

如果域 $K$ 上的拓扑由超量绝对值定义，则$K$ 与此拓扑完全断开。