习题 5, § 9

(a) 假设 K 为交换域，$v$ 对 K 的高度 1 的评估，使得 K 对于 $v$ 的$v$ 和$\mathbf{A}$ 环是完整的；进一步假设$v$的剩余类域$k$是完美的并且具有特征$p > 0$。对于每个元素$\xi \in k^*$和每个整数$n$，令$x_n$为$\mathbf{A}$中类$\xi^{p^{-n}}$的元素；证明序列$(x_n^{p^n})$是$\mathbf{A}$中的柯西序列，其极限独立于类$\xi^{p^{-n}}$中的$x_n$的选择。如果这个极限由$\phi(\xi)$表示，则表明$\phi$是乘法群$k^*$到乘法群$K^*$的唯一同构$u$，使得对于所有$\xi \in k^*$， $u(\xi)$ 是 $\mathbf{A}$ 属于到类 $\xi$ 中的元素。

(b) 如果 K 也具有特征 $p$，则表明 $\phi$，通过 $\phi(0) = 0$ 扩展到 $k$，是域 $k$ 的同构到 K 的子域上。推导出新的证明定理 1 (iii) / no. 3。

(c) 假设 $k$ 是有限的。表明，如果$r$是素顶，$K^*$元素的$r$-第幂群$(K^*)^r$在$K^*$中是有限的指标（使用Hensel的引理）。证明，如果进一步 $v$ 是离散的并且特征 K 为 0，则在 $v$ 上没有限制，相同的结果也是有效的（观察$1 + p^2\mathbf{A}$ 的每个元素都是第 $p$-第幂）。