Bài tập 5, § 9

(a) Giả sử K là một trường giao hoán, $v$ là một định giá có chiều cao 1 trên K sao cho K đầy đủ đối với $v$ và $\mathbf{A}$ là vành của $v$; giả sử thêm rằng trường thặng dư $k$ của $v$ là hoàn hảo và có đặc số $p > 0$. Với mọi phần tử $\xi \in k^*$ và mọi số nguyên $n$, gọi $x_n$ là một phần tử của lớp $\xi^{p^{-n}}$ trong $\mathbf{A}$; hãy chứng minh rằng dãy $(x_n^{p^n})$ là một dãy Cauchy trong $\mathbf{A}$ mà giới hạn độc lập với sự lựa chọn các $x_n$ trong các lớp $\xi^{p^{-n}}$. Nếu giới hạn này được ký hiệu là $\phi(\xi)$, hãy chứng minh rằng $\phi$ là đẳng cấu duy nhất $u$ của nhóm nhân $k^*$ vào nhóm nhân $K^*$ sao cho, với mọi $\xi \in k^*$, $u(\xi)$ là một phần tử của $\mathbf{A}$ thuộc lớp $\xi$.

(b) Nếu K cũng có đặc số $p$, hãy chứng minh rằng $\phi$, được mở rộng đến $k$ bởi $\phi(0) = 0$, là một đẳng cấu của trường $k$ lên một trường con của K. Suy ra một chứng minh mới của Định lý 1 (iii) của no. 3.

(c) Giả sử rằng $k$ là hữu hạn. Hãy chứng minh rằng, nếu $r$ nguyên tố cùng nhau với p, nhóm $(K^*)^r$ gồm các lũy thừa bậc $r$ của các phần tử của $K^*$ có chỉ số hữu hạn trong $K^*$ (dùng Bổ đề Hensel). Hãy chứng minh rằng, nếu thêm nữa $v$ là rời rạc và K có đặc số 0, kết quả tương tự đúng mà không có hạn chế nào đối với $v$ (nhận xét rằng mọi phần tử của $1 + p^2\mathbf{A}$ đều là một lũy thừa bậc $p$).