Exercice 5, § 9

a) Soient K un corps commutatif, v une valuation de hauteur 1 sur K telle que K soit complet pour v, A l’anneau de v; on suppose en outre que le corps résiduel k de v soit parfait et de caractéristique $p > 0$. Pour tout élément $\xi \in k^*$ et tout entier n, soit $x_n$ un élément de la classe $\xi^{p^{-n}}$ dans A; montrer que la suite $(x_n^{p^n})$ est une suite de Cauchy dans A, dont la limite est indépendante du choix des $x_n$ dans les classes $\xi^{p^{-n}}$. Si cette limite est notée $\varphi(\xi)$, montrer que $\varphi$ est l’unique isomorphisme u du groupe multiplicatif $k^*$ dans le groupe multiplicatif K*, tel que pour tout $\xi \in k^*$, $u(\xi)$ soit un élément de A appartenant à la classe $\xi$.

b) Si K est aussi de caractéristique p, montrer que $\varphi$, prolongé à k par $\varphi(0) = 0$, est un isomorphisme du corps k sur un sous-corps de K. En déduire une nouvelle démonstration du th. 1, (iii) du no 3.

c) On suppose $k$ fini. Montrer que si r est étranger à p, le groupe $(K^*)^r$ des puissances r-èmes d’éléments de $K^*$ est d’indice fini dans $K^*$ (utiliser le lemme de Hensel). Montrer que si en outre $v$ est discrète et K de caractéristique 0, le même résultat est valable sans restriction sur r (observer que tout élément de $1 + p^2A$ est une puissance p-ème).