习题 7, § 2

设$\mathbf{A}$为诺特域。证明以下性质是等价的： (α) $\mathbf{A}$ 是戴德金域。 (β) 对于$\mathbf{A}$的每个最大理想$m$，不存在与$m$和$m^2$不同的理想$a$使得$m^2 \subset a \subset m$。 (γ) 对于$\mathbf{A}$的每个最大理想$m$，$m$的初级理想的集合完全按包含排序。 (δ) 对于 $\mathbf{A}$ 的每个最大理想 $m$，$m$ 的每个初级理想都是素理想中的乘积。 （证明每个属性 (γ) 和 (δ) 都隐含 (β)；然后证明 (β) 隐含 $\mathbf{A}_{m}$ 是域或离散估值环 (cf. 章 VI, § 3, no. 5, 命题 9)。） 给出局部整环满足属性 (β)、(γ) 和 (δ) 的例，这不是评估环 (cf. 章 VI, § 3、习题 7)。