习题 26, § 1

令$\mathbf{A}$为整环，$\mathbf{K}$为分数的域。 A valuation $v$ on $\mathbf{K}$ is called essential for $\mathbf{A}$ if the ring of $v$ is a local ring $\mathbf{A}_p$ at a prime ideal $p$ of $\mathbf{A}$ (the intersection of $\mathbf{A}$ and the ideal of $v$).

(a) 令$v$为高度1的$\mathbf{A}$的基本估值，并令$p$为那些$x$的首要理想$\mathbf{A}$由……组成，使得$v(x) > 0$。证明$p$的高度为1。如果$x \in \mathbf{K}$不属于到$\mathbf{A}_p$，则$\mathbf{A} \cap x^{-1}\mathbf{A} \subset p$。如果$w$是$\mathbf{K}$的估值，其环$B$包含于$\mathbf{A}$且其理想$q$满足$q \cap \mathbf{A} \subset p$，则证明$w$等价于$v$。

(b) 如果存在对 $\mathbf{K}$ of 高度 1 满足属性 (AK$_{II}$) 和 (AK$_{III}$) 进行评估的$(v_i)_{i \in I}$族，则称积分闭域$\mathbf{A}$为*有限*特征标和实数型。 Show that under these conditions, if $z \in \mathbf{K}$ does not belong to $\mathbf{A}$ and $p$ is a prime ideal of $\mathbf{A}$ such that $\mathbf{A} \cap z^{-1}\mathbf{A} \subset p$, there exists $i \in I$ such that $v_i(z) < 0$ and that the prime ideal $q_i$ of $x \in \mathbf{A}$ such that $v_i(x) > 0$ is contained in $p$. (Argue by reductio ad absurdum by considering the finite number of $v_{i_k}$ such that $v_{i_k}(z) < 0$; prove the existence of an $a \in \mathbf{A}$ such that $a \notin p$ and $v_{i_k}(a) > 0$ for all $k$; deduce that $a^n z \notin \mathbf{A}$ for every integer $n > 0$ and show that this implies a contradiction.) Conclude from this that every essential valuation for $\mathbf{A}$ of height 1 is equivalent to one of the $v_i$ (use (a)). $\mathbf{K}$的子域的每个有限交，其有限特征标和实数型也是有限特征标和实数型的域。

(c) 假设(b)的假设得到满足，并且所有$v_i$都是必要的。证明，对于高度为 1 的 $\mathbf{A}$ 的每个素理想 $p$，$\mathbf{A}$ 是估值 $v_i$ 之一的环（使用 (b) 取 $z^{-1} \in p$）。对于所有$x \in \mathbf{A}$，主理想$Ax$则承认唯一的简化初等分解（章IV, § 2，习题20），素理想相应的到此分解是高度1包含的素理想$x$。

(d) 假设(b) 的假设得到满足。令$S$是$\mathbf{A}$的乘法子集而不是包含0和$J \subset I$集合与$t \in I$的乘法，使得$v_t(x) = 0$在$S$上。证明族$(v_i)_{i \in I - J}$满足环$S^{-1}\mathbf{A}$的性质（AK$_{II}$）和（AK$_{III}$）；如果 $(v_i)_{i \in I}$ 包含 $\mathbf{A}$ 的基本估值，则该族包含 $S^{-1}\mathbf{A}$ 的基本估值。

(e) 将no. 5的命题9推广到满足(c)的假设的情况。

(f) 假设(b) 的假设得到满足。令$K'$为$K$的有限扩张，而$A'$为$A$在$K'$的积分闭包。证明 $K'$ 的估值（没有两个是等价的），其中扩展 $v_i$ 满足属性 (AK$_{II}$) 和 (AK$_{III}$) 对于 $A'$，因此后者是有限特征标和实型的域；如果$v_i$对于$\mathbf{A}$都是必需的，那么它们的扩张对于$A'$也是必需的（如no. 8，命题12一样争论，也使用章VI, § 8, no. 3，注）。

(g) 如果$\mathbf{A}$是有限特征标和实数型的域，则$\mathbf{A}[X]$也是；如果满足(c)的条件，则确定为$A[X]$的基本估值（如no. 9所述）。类似地推广习题 8。