Bài tập 26, § 1

Cho $\mathbf{A}$ là một miền nguyên và $\mathbf{K}$ là trường phân thức của nó. Một định giá $v$ trên $\mathbf{K}$ được gọi là cốt yếu đối với $\mathbf{A}$ nếu vành của $v$ là một vành địa phương $\mathbf{A}_p$ tại một iđêan nguyên tố $p$ của $\mathbf{A}$ (giao của $\mathbf{A}$ và iđêan của $v$).

(a) Cho $v$ là một định giá cốt yếu đối với $\mathbf{A}$ có chiều cao 1 và cho $p$ là iđêan nguyên tố $\mathbf{A}$ gồm những $x$ sao cho $v(x) > 0$. Chứng minh rằng $p$ có chiều cao 1. Nếu $x \in \mathbf{K}$ không thuộc $\mathbf{A}_p$, thì $\mathbf{A} \cap x^{-1}\mathbf{A} \subset p$. Nếu $w$ là một định giá trên $\mathbf{K}$ mà vành $B$ của nó chứa $\mathbf{A}$ và iđêan $q$ của nó thỏa mãn $q \cap \mathbf{A} \subset p$, hãy chứng minh rằng $w$ tương đương với $v$.

(b) Một miền nguyên đóng $\mathbf{A}$ được gọi là có đặc trưng hữu hạn và kiểu thực nếu tồn tại một họ $(v_i)_{i \in I}$ các định giá trên $\mathbf{K}$ có chiều cao 1 thỏa mãn các tính chất (AK$_{II}$) và (AK$_{III}$). Chứng minh rằng dưới các điều kiện này, nếu $z \in \mathbf{K}$ không thuộc $\mathbf{A}$ và $p$ là một iđêan nguyên tố của $\mathbf{A}$ sao cho $\mathbf{A} \cap z^{-1}\mathbf{A} \subset p$, thì tồn tại $i \in I$ sao cho $v_i(z) < 0$ và iđêan nguyên tố $q_i$ gồm các $x \in \mathbf{A}$ sao cho $v_i(x) > 0$ được chứa trong $p$. (Lập luận bằng phản chứng bằng cách xét số hữu hạn các $v_{i_k}$ sao cho $v_{i_k}(z) < 0$; chứng minh sự tồn tại của một $a \in \mathbf{A}$ sao cho $a \notin p$ và $v_{i_k}(a) > 0$ với mọi $k$; suy ra rằng $a^n z \notin \mathbf{A}$ với mọi số nguyên $n > 0$ và chứng minh rằng điều này dẫn đến một mâu thuẫn.) Kết luận từ điều này rằng mọi định giá cốt yếu đối với $\mathbf{A}$ có chiều cao 1 đều tương đương với một trong các $v_i$ (sử dụng (a)). Mọi giao hữu hạn của các miền con của $\mathbf{K}$ có đặc trưng hữu hạn và kiểu thực cũng là một miền có đặc trưng hữu hạn và kiểu thực.

(c) Giả sử các giả thiết của (b) được thỏa mãn và hơn nữa mọi $v_i$ đều là cốt yếu. Chứng minh rằng, đối với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $\mathbf{A}$ có chiều cao 1, $\mathbf{A}$, là vành của một trong các định giá $v_i$ (dùng (b) với $z^{-1} \in p$). Với mọi $x \in \mathbf{A}$, iđêan chính $Ax$ khi đó thừa nhận một phân tích nguyên sơ rút gọn duy nhất (Chương IV, § 2, Bài tập 20), các iđêan nguyên tố tương ứng với phân tích này là các iđêan nguyên tố có chiều cao 1 chứa $x$.

(d) Giả sử các giả thiết của (b) được thỏa mãn. Cho $S$ là một tập con nhân của $\mathbf{A}$ không chứa 0 và $J \subset I$ là tập hợp các $t \in I$ sao cho $v_t(x) = 0$ trên $S$. Chứng minh rằng họ $(v_i)_{i \in I - J}$ thỏa mãn các tính chất (AK$_{II}$) và (AK$_{III}$) đối với vành $S^{-1}\mathbf{A}$; họ này gồm các định giá cốt yếu đối với $S^{-1}\mathbf{A}$ nếu $(v_i)_{i \in I}$ gồm các định giá cốt yếu đối với $\mathbf{A}$.

(e) Tổng quát hóa Mệnh đề 9 của no. 5 cho trường hợp các giả thiết của (c) được thỏa mãn.

(f) Giả sử các giả thiết của (b) được thỏa mãn. Cho $K'$ là một mở rộng hữu hạn của $K$ và $A'$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $K'$. Chứng minh rằng các định giá (không có hai cái nào tương đương) trên $K'$ mở rộng các $v_i$ thỏa mãn các tính chất (AK$_{II}$) và (AK$_{III}$) đối với $A'$ và do đó vành sau là một miền có đặc trưng hữu hạn và kiểu thực; nếu các $v_i$ đều là định giá cốt yếu đối với $\mathbf{A}$, thì các mở rộng của chúng đối với $A'$ cũng vậy (lập luận như trong no. 8, Mệnh đề 12 và cũng sử dụng Chương VI, § 8, no. 3, Nhận xét).

(g) Nếu $\mathbf{A}$ là một miền có đặc trưng hữu hạn và kiểu thực, thì $\mathbf{A}[X]$ cũng vậy; nếu các điều kiện của (c) được thỏa mãn, xác định các định giá cốt yếu đối với $A[X]$ (lập luận như trong no. 9). Tổng quát hóa Bài tập 8 tương tự.