Exercice 26, § 1

Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions. On dit qu’une valuation $v$ sur $K$ est essentielle pour $A$ si l’anneau de $v$ est un anneau local $A_p$ en un idéal premier $p$ de $A$ (intersection de $A$ et de l’idéal de $v$).

a) Soit $v$ une valuation essentielle pour $A'$, de hauteur 1, et soit $p$ l’idéal premier de $A$ formé des $x \in A$ tels que $v(x) > 0$. Montrer que $p$ est de hauteur 1. Si $x \in K$ n’appartient pas à $A_p$, on a $A \cap x^{-1}A \subset p$. Si $w$ est une valuation sur $K$ dont l’anneau $B$ contient $A$ et dont l’idéal $q$ est tel que $q \cap A \subset p$, montrer que $w$ est équivalente à $v$.

b) On dit qu’un anneau intégralement clos $A$ est de caractère-fini et de type réel s’il existe une famille $(v_i)_{i \in I}$ de valuations sur $K$, de hauteur 1, vérifiant les propriétés (AK$_{\text{II}}$) et (AK$_{\text{III}}$). Montrer que sous ces conditions, si $z \in K$ n’appartient pas à $A$ et si $p$ est un idéal premier de $A$ tel que $A \cap z^{-1}A \subset p$, il existe $i \in I$ tel que $v_i(z) < 0$, et que l’idéal premier $q_i$ des $x \in A$ tels que $v_i(x) > 0$ soit contenu dans $p$. (Raisonner par l’absurde en considérant les $v_{i_k}$ en nombre fini telles que $v_{i_k}(z) < 0$; prouver l’existence d’un $a \in A$ tel que $a \notin p$ et $v_{i_k}(a) > 0$ pour tout $k$; en déduire que $a^n z \notin A$ pour tout entier $n > 0$, et montrer que cela entraîne contradiction). Conclure de là que toute valuation essentielle de hauteur 1 pour $A$ est équivalente à l’une des $v_i$ (utiliser $a$). Toute intersection finie de sous-anneaux de $K$ qui sont de caractère fini et de type réel est aussi un anneau de caractère fini et de type réel.

c) On suppose vérifiées les hypothèses de $b$, et en outre que toutes les $v_i$ sont essentielles. Montrer que pour tout idéal premier $p$ de hauteur 1 dans $A$, $A_p$ est l’anneau de l’une des valuations $v_i$ (utiliser $b$) en prenant $z^{-1} \in p$. Pour tout $x \in A$, l’idéal principal $Ax$ admet alors une décomposition primaire réduite (chap. IV, § 2, exerc. 20) unique, les idéaux premiers correspondant à cette décomposition étant les idéaux premiers de hauteur 1 contenant $x$.

d) On suppose vérifiées les hypothèses de $b$. Soient $S$ une partie multiplicative de $A$ ne contenant pas 0, et $J \subset I$ l’ensemble des $i \in I$ tels que $v_i(x) = 0$ dans $S$. Montrer que la famille $(v_i)_{i \in I - J}$ vérifie pour l’anneau $S^{-1}A$ les propriétés (AK$_{\text{II}}$) et (AK$_{\text{III}}$); cette famille est formée de valuations essentielles pour $S^{-1}A$ si $(v_i)_{i \in I}$ est formée de valuations essentielles pour $A$.

e) Généraliser la prop. 9 du n° 5 au cas où les hypothèses de $c$ sont remplies.

f) On suppose vérifiées les hypothèses de b). Soient K' une extension de degré fini de K, A' la fermeture intégrale de A dans K'. Montrer que les valuations (deux à deux non équivalentes) sur K' qui prolongent les v_i vérifient les propriétés (AK_{II}) et (AK_{III}) pour A', et ce dernier est donc un anneau de caractère fini et de type réel; si les v_i sont toutes essentielles pour A, il en est de même de leurs prolongements pour A' (raisonner comme dans le n° 8, prop. 12 et utiliser en outre le chap. VI, § 8, n° 3, Remarque).

g) Si A est un anneau de caractère fini et de type réel, il en est de même de A[X]; si les conditions de c) sont vérifiées, déterminer les valuations essentielles pour A[X] (raisonner comme dans le n°9). Généraliser de même l’exerc. 8.