习题 6, § 4

(a) 设 $S$ 为超斯顿紧致空间，没有孤立的点（整的，章 V, §5，习题 14）。 令$C_0(S)$为实值函数的向量空间，有限或其他，在S上定义，在S上连续，并且使得集合$f(-\infty)$和$f(+\infty)$在S中不稠密（整的，章II, § 1，习题13（g））。 Show that, for every measure $\mu > 0$ on S, there exist functions $f$ in $C_0(S)$ whose upper integral is infinite (note that for every nowhere dense closed subset N of S there exists a function $f$ in $C_0(S)$ which is equal to $+\infty$ on N; show then that attention may be restricted to the case where the measure $\mu$ is normal and define $f$ suitably as the upper bound of a sequence of functions in $C_0(S)$).

(b) 令G为$C_0(S)$中函数的$C_0(S)$由……组成的有序子群，其值在$\mathbf{Z}$或$\pm \infty$中。证明 G 是一个完全格子，并且与乘积群 $\mathbf{R}^l$ 中的任何子群不同构（作为有序群）。

(c) 令 K 为形式幂级数的域和 $A_s = K[[X_s]]_{s \in S}$ 环，其中 K 中的系数位于不定族 $(X_s)$ 中，以空间 S 作为索引集合 (代数, 章) IV, § 5、习题 1)。设 b 为形式幂级数 $P \in A_s$ 的集合，其中性质：存在一个*无处密集* 集合 $N \subset S$，使得系数为 $\neq 0$ 包含的 P 的每个单项式都有一个 $X_s$，其中$s \in N$。证明 b 是 $A_0$ 的理想，并且环 $A = A_0/b$ 是整环并且完全积分闭（要证明后者点，应用章 V, § 1, no. 4、命题 14，如章中那样论证V, § 1，习题 10；还利用了这样的事实：在 S 中，每个微薄的集合都不是稠密的）。

(d) 令$f$为群G的元素$\geq 0$，并令N为点的无处稠密集合，其中$f(s) = \pm \infty$。设$p_f$为形式幂级数$\prod_{s \in N} (1 + X_s)^{f(s)}$的A像的元素； 映射 $f \mapsto p_f$ 是 A 的乘法子幺半群上的加法幺半群 $G_+$ 的同构。 推导出不能是其域的高度 1 的估值族环的交分数（证明这意味着 G 同构于乘积 $\mathbf{R}^l$ 的子群）。 （参见习题8和9。）