Bài tập 6, § 4

(a) Cho $S$ là một không gian compact hyperstonian không có điểm cô lập (Tích phân, Chương V, §5, Bài tập 14). Cho $C_0(S)$ là không gian vectơ của các hàm nhận giá trị thực, hữu hạn hoặc không, xác định trên S, liên tục trên S và sao cho các tập $f(-\infty)$ và $f(+\infty)$ là không trù mật trong S (Tích phân, Chương II, § 1, Bài tập 13 (g)). Chứng minh rằng, với mọi độ đo $\mu > 0$ trên S, tồn tại các hàm $f$ trong $C_0(S)$ mà tích phân trên của chúng là vô hạn (chú ý rằng với mọi tập con đóng không trù mật N của S tồn tại một hàm $f$ trong $C_0(S)$ bằng $+\infty$ trên N; khi đó chứng minh rằng có thể hạn chế sự chú ý vào trường hợp độ đo $\mu$ là chuẩn và định nghĩa $f$ một cách thích hợp như cận trên của một dãy các hàm trong $C_0(S)$).

(b) Cho G là nhóm con có thứ tự của $C_0(S)$ gồm các hàm trong $C_0(S)$ có các giá trị thuộc $\mathbf{Z}$ hoặc $\pm \infty$. Chứng minh rằng G là một dàn đầy đủ và không đẳng cấu (như một nhóm có thứ tự) với bất kỳ nhóm con nào của một nhóm tích $\mathbf{R}^l$.

(c) Cho K là một trường và $A_s = K[[X_s]]_{s \in S}$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với các hệ số trong K trong một họ các bất định $(X_s)$ với không gian S làm tập chỉ số (Đại số, Chương IV, § 5, Bài tập 1). Cho b là tập hợp các chuỗi lũy thừa hình thức $P \in A_s$ có tính chất sau: tồn tại một tập hợp không trù mật $N \subset S$ sao cho mọi đơn thức của P có hệ số $\neq 0$ đều chứa một $X_s$ với $s \in N$. Chứng minh rằng b là một iđêan của $A_0$ và rằng vành $A = A_0/b$ là một miền nguyên và đóng nguyên hoàn toàn (để chứng minh điểm sau, áp dụng Chương V, § 1, no. 4, Mệnh đề 14, lập luận như trong Chương V, § 1, Bài tập 10; cũng sử dụng sự kiện là trong S mọi tập hợp không lớn là không trù mật).

(d) Cho $f$ là một phần tử $\geq 0$ của nhóm G và cho N là tập hợp các điểm không trù mật nơi $f(s) = \pm \infty$. Cho $p_f$ là phần tử của A là ảnh của chuỗi lũy thừa hình thức $\prod_{s \in N} (1 + X_s)^{f(s)}$; ánh xạ $f \mapsto p_f$ là một đẳng cấu của monoid cộng tính $G_+$ lên một monoid con nhân của A. Suy ra rằng A không thể là giao của một họ các vành định giá có chiều cao 1 của trường các phân thức của nó (chứng minh rằng điều này sẽ kéo theo G đẳng cấu với một nhóm con của một tích $\mathbf{R}^l$). (Xem các Bài tập 8 và 9.)